數(shù)學(xué)進(jìn)程中的三次危機(jī)
數(shù)學(xué)中過去的錯(cuò)誤或者未解決的困難，是為它未來的發(fā)展提供了契機(jī)。
——E.T.Bell
數(shù)學(xué)的永遠(yuǎn)令人神往的美貌之一就是，它的艱難的悖論是以栩栩生輝的方式使之得到美妙的結(jié)果�！狿.J.Davis
第三次數(shù)學(xué)危機(jī)是胡作玄教授寫的關(guān)于數(shù)學(xué)發(fā)展史的一篇力作，在結(jié)束語中
他用精練的語言將數(shù)學(xué)發(fā)展的歷程做了高度概括，不僅講述了數(shù)學(xué)危機(jī)產(chǎn)生的背景，同時(shí)也介紹了危機(jī)本身，最后他告訴我們危機(jī)是如何解決的。
我認(rèn)為這個(gè)結(jié)束語是必讀的，它對(duì)讀者閱讀全文和了解數(shù)學(xué)發(fā)展史有非常大的幫助。因?yàn)槿谋容^長，可能有人不會(huì)看到最后，而我又希望大家不要略過這個(gè)部分，為此我做了一個(gè)大膽的調(diào)整，請(qǐng)大家先閱讀結(jié)束語，如果你有興趣就可以隨意地閱讀其他相關(guān)的章節(jié)。把結(jié)束語放在最前面的目的是想把它作為一個(gè)閱讀的導(dǎo)引。——編者
第三次數(shù)學(xué)危機(jī)
——胡作玄 結(jié)束語
數(shù)學(xué)素以精確嚴(yán)密的科學(xué)著稱，可是在數(shù)學(xué)發(fā)展的歷史長河中，仍然不斷地出現(xiàn)矛盾以及解決矛盾的斗爭。從某種意義下講，數(shù)學(xué)就是要解決一些問題，問題不過矛盾的一種形式。
有些問題得到了解決，比如任何正整數(shù)都可以表示為四個(gè)平方數(shù)之和；有些問題至今沒有得到解決，如哥德巴赫猜想：任何大偶數(shù)都再可以表表示為兩個(gè)素?cái)?shù)之和。我們還很難說這個(gè)命題是對(duì)還是不對(duì)，因?yàn)殡S便給一個(gè)偶數(shù)，經(jīng)過有很多次試驗(yàn)總可以得出結(jié)論，但是偶數(shù)有無窮多個(gè)，你窮畢生精力也不會(huì)驗(yàn)證完。也許你能碰到到一個(gè)很大的偶數(shù)，找不到兩個(gè)素?cái)?shù)之和等于它，不過即使這樣，你也難以斷言這種例外偶數(shù)是否有限多個(gè)，也就是某一個(gè)大偶數(shù)之后，上述歌德巴赫猜想成立。
這就需要證明，而證明則要用有限的步驟解決涉及無窮的問題。借助于計(jì)算機(jī)完成的四色定理的證明，首先也要把無窮多種可能的地圖歸結(jié)成有限的情形，沒有有限，計(jì)算機(jī)也是無能為力的。因此看出數(shù)學(xué)永遠(yuǎn)回避不了有限與無窮這對(duì)矛盾。只要無窮存在，你就要應(yīng)付它。這可以說是數(shù)學(xué)矛盾的根源之一。
在處理出現(xiàn)矛盾的過程中，數(shù)學(xué)家不可能不進(jìn)行“創(chuàng)造”，這首先表現(xiàn)在產(chǎn)生新概念上，我們不妨先不管自然數(shù)。 |
