3、1930年哥德爾的兩項(xiàng)主要貢獻(xiàn)
(1) 完全性定理：哥德爾的學(xué)位論文《邏輯函數(shù)演算的公理的完全性》解決了一階謂詞演算的完全性問題。羅素與懷德海建立了邏輯演算的公理系統(tǒng)的無矛盾性及完全性(也許還包括不那么重要的獨(dú)立性)。所謂完全性就是，每一個(gè)真的邏輯數(shù)學(xué)命題都可以由這個(gè)公理系統(tǒng)導(dǎo)出，也就是可證明。
命題演算的完全性已由美國數(shù)學(xué)家波斯特在1921年給出證明，而一階謂詞演算的完全性—直到1929年才由哥德爾給出證明。但是哥德爾認(rèn)為，斯柯侖在1922年的文章中已隱含證明了命題演算的完全性，但是他沒有陳述這個(gè)結(jié)果，可能是他本人并沒有意識(shí)到這一點(diǎn)。
(2) 哥德爾的不完全性定理：這是數(shù)理邏輯最重大的成就之一，是數(shù)理邏輯發(fā)展的一個(gè)里程碑和轉(zhuǎn)折點(diǎn)。哥德爾在研究過程中直接考慮悖論及解決悖論的方法，從而把第三次數(shù)學(xué)危機(jī)引導(dǎo)至另外一個(gè)方向上。
哥德爾證明不完全性定理是從考慮數(shù)學(xué)分析的協(xié)調(diào)性問題開始的。1930年秋在哥尼斯堡會(huì)議上，他宣布了第一不完全性定理：一個(gè)包括初等數(shù)論的形式系統(tǒng)，如果是協(xié)調(diào)的，那就是不完全的。不久之后他又宣布：如果初等算術(shù)系統(tǒng)是協(xié)調(diào)的，則協(xié)調(diào)性在算術(shù)系統(tǒng)內(nèi)不可證明。
哥德爾的證明使用了“算術(shù)化”的方法。哥德爾說：“一個(gè)系統(tǒng)的公式……從外觀上看是原始符號(hào)的有窮序列……。不難嚴(yán)格地陳述，哪些原始符號(hào)的序列是合適公式，哪些不是；類似地，從形式觀點(diǎn)看來，證明也只不過是(具有某種確定性質(zhì)的)一串公式的有窮序列”。因此，研究一個(gè)形式系統(tǒng)實(shí)際上就是研究可數(shù)個(gè)對(duì)象的集合。我們給每個(gè)對(duì)象配上一個(gè)數(shù)，這種把每一個(gè)對(duì)象配上一個(gè)數(shù)的方法稱為“哥德爾配數(shù)法”。哥德爾通過這些數(shù)反過來看原來形式系統(tǒng)的性質(zhì)。
哥德爾研究了46種函數(shù)和謂詞，哥德爾證明了他的前45個(gè)函數(shù)和謂詞都是原始遞歸的。但第46個(gè)謂詞為“X是一個(gè)可證公式的哥德爾數(shù)”。在對(duì)哥德爾配數(shù)的系統(tǒng)中，可以得到一個(gè)公式，它相當(dāng)于：我是不可證的。所以這個(gè)句子是不可證的且是真的。所以系統(tǒng)中存在真語句而又不可證，也就是系統(tǒng)不完全。
哥德爾的論文在1931年發(fā)表之后，立即引起邏輯學(xué)家的莫大興趣。它開始雖然使人們感到驚異不解，不久即得到廣泛承認(rèn)，并且產(chǎn)生巨大的影響。
哥德爾的證明對(duì)希爾伯特原來的計(jì)劃是一個(gè)巨大的打擊，因此把整個(gè)數(shù)學(xué)形式化的打算是注定要失敗的，因而邏輯主義和形式主義的原則是不能貫徹到底的；“希爾伯特計(jì)劃”中證明論的有限主義觀點(diǎn)必須修正，從而使證明論的要求稍稍放寬。1936年甘岑在容許超窮歸納的條件下證明了算術(shù)的無矛盾性，而倡導(dǎo)有限構(gòu)造主義的直覺主義也不能解決問題；哥德爾的工具遞歸函數(shù)促進(jìn)了遞歸函數(shù)論的系統(tǒng)研究，同時(shí)推動(dòng)了不可判定問題的研究，開始出現(xiàn)遞歸論的新分支。
哥德爾不完全定理的證明結(jié)束了關(guān)于數(shù)學(xué)基礎(chǔ)的爭論不休的時(shí)期，數(shù)學(xué)基礎(chǔ)的危機(jī)不那么突出表現(xiàn)出來。數(shù)理邏輯形成了一個(gè)帶有強(qiáng)技巧性的獨(dú)立學(xué)科，而絕大部分?jǐn)?shù)學(xué)家仍然把自己的研究建立在樸素集合論或ZF公理集合論的基礎(chǔ)上。
盡管集合論中存在矛盾，但這些矛盾大部分均可回避。研究這些矛盾，特別是集合論的矛盾變成數(shù)理邏輯學(xué)家的事業(yè)。另外一方面，直覺主義和構(gòu)造主義數(shù)學(xué)雖然也有發(fā)展，但終究是一小部分，半個(gè)世紀(jì)以來，在數(shù)學(xué)中始終不占統(tǒng)治地位。因?yàn)槊芤埠�、危機(jī)也好，根源在于無窮，但是數(shù)學(xué)中畢竟少不了無窮。歸根結(jié)蒂，數(shù)學(xué)終究是研究無窮的科學(xué)。
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