第四章：哥德爾的發(fā)現(xiàn)—意想不到的結(jié)果
在數(shù)理邏輯的歷史上，哥德爾的工作起著承前啟后的作用。1928年希爾伯特在意大利波倫那召開的國際數(shù)學(xué)家大會上提出的四個(gè)問題，很快就被哥德爾原則上解決了。尤其是他的不完全性定理，把人們引向一種完全不同的境界，從此數(shù)理邏輯開始了一個(gè)新的時(shí)代。
在這之前，數(shù)學(xué)家期望數(shù)學(xué)有一個(gè)既廣闊又嚴(yán)格的基礎(chǔ)，在這個(gè)基礎(chǔ)上數(shù)學(xué)家可以放心地去干他們愿意干的事。哥德爾的不完全性定理使這種想法破滅了。
悖論所造成的危機(jī)雖然可以暫時(shí)回避，然而想從原則上一攬子解決是毫無希望的。從此之后，數(shù)學(xué)家只滿足于使用集合論一些最簡單的結(jié)果，而對更深入的數(shù)理邏輯與數(shù)學(xué)基礎(chǔ)問題則不那么關(guān)心注意了。
同時(shí)，由于哥德爾在證明中發(fā)展的一些技術(shù)，也使數(shù)理邏輯成為一門具有自己獨(dú)立技術(shù)和方法的數(shù)學(xué)分支�，F(xiàn)在的數(shù)理邏輯，不管是公理集合論、模型論還是證明論、遞歸論都已經(jīng)變得十分專門。就象代數(shù)拓?fù)鋵W(xué)、算子代數(shù)、隨機(jī)過程等學(xué)科，對于非本行專家來說，簡直是難以理解的。
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