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屬于純粹模型論主題的最早的定理有兩個(gè)，一個(gè)是羅文漢姆的定理。他在1915年證明每一組有限多公理如果有模型的話，則它也有一個(gè)可數(shù)模型。把這個(gè)定理推廣到有可數(shù)個(gè)公理的情況。另一個(gè)定理是緊性定理。 三十年代，哥德爾對(duì)可數(shù)語言證明緊性定理，1936年蘇聯(lián)馬力茨夫推廣到不可數(shù)語言。緊性定理在代數(shù)學(xué)方面有許多應(yīng)用。
這兩個(gè)定理都肯定某種模型的存在性，特別是羅文漢姆—斯科蘭姆定理及緊性定理指出有想不到的特別大的模型存在。最明顯的就是自然數(shù)集合的皮亞諾公理(其中歸納公理加以改變)，不僅有通常自然集N為其標(biāo)準(zhǔn)模型(即包括可數(shù)多個(gè)元素)，還有包括不可數(shù)多個(gè)元素的模型，這就是所謂非標(biāo)準(zhǔn)算術(shù)模型。第一個(gè)非標(biāo)準(zhǔn)算術(shù)模型是由斯科蘭姆在1934年首先造出的。這兩個(gè)定理的證明都依賴于造模型的方法。
模型論中常用的構(gòu)造模型方法與工具有：初等鏈方法、圖式、緊性定理、下行羅文海姆—斯科蘭姆定理、省略類型定理、力迫法、超積、齊性集合等8種，這些方法都是相當(dāng)專門的。
圖式方法是亨金及羅濱遜首創(chuàng)的，它有許多用處，不僅能證明緊性定理、羅文海姆—斯科蘭姆定理、哥德爾完全性定理等等，而且可以得出許多新定理。
初等鏈?zhǔn)撬査够拔痔卦?957年提出的。超積是最常用的構(gòu)造模型的方法，超積和超冪的用處表現(xiàn)在同構(gòu)定理上。超冪的另一個(gè)很大的用處是構(gòu)造非標(biāo)準(zhǔn)分析的模型。
對(duì)于數(shù)學(xué)理論最重要的事是公理化。在模型論中，公理數(shù)目可以有限多，稱為有限可公理化的理論。這類理論有；群、交換群、環(huán)、整域、域、有序域、全序集、格、布爾代數(shù)、貝納斯—哥德爾集合論等等。許多重要理論是不能有限公理化的，其中一部分是遞歸可公理化的。如可分群、無撓群、特征0的域、代數(shù)封閉域、實(shí)封閉域、有限域、尤其重要的是皮亞諾算術(shù)和ZF集合論，而有限群論甚至連遞歸可公理化都不行。
一個(gè)理論是遞歸可公理化的充分必要條件是：它的所有推論集合是遞歸可枚舉的。通常它不一定是遞歸的，如果是遞歸的，則稱為可判定的�？梢宰C明，每個(gè)完全、遞歸可公理化理論是可判定的。因此利用模型論的有力工具可以得出判定理論的一些結(jié)果，如早在1948年塔爾斯基等人證明，實(shí)閉域理論是完全的，因此是可判定的。
早在十九世紀(jì)，數(shù)學(xué)家利用造模型的方法來肯定非歐幾何的真實(shí)性，他們?cè)爝^許多模型，但這些模型本質(zhì)上沒有區(qū)別，也就是“同構(gòu)”。在二十世紀(jì)初，數(shù)學(xué)家一般認(rèn)為，一個(gè)理論的模型都是同構(gòu)的，如自然數(shù)理論就是皮亞諾公理所刻劃的一種。
但是這種想法很快就由于自然數(shù)非標(biāo)準(zhǔn)模型的存在而被打破，所以人們又在模型論當(dāng)中引進(jìn)重要的概念—范疇性：一個(gè)理論或一組公式如果其所有模型均同構(gòu)，它就稱為范疇的。實(shí)際上，這對(duì)于形式系統(tǒng)(或公理系統(tǒng))是僅次于協(xié)調(diào)性(無矛盾性)、完全性、獨(dú)立性之后的第四個(gè)重要要求。但是這個(gè)要求實(shí)在太強(qiáng)了，實(shí)際上，只要一個(gè)理論有一個(gè)無窮模型，那么它就不是范疇的，所以我們把范疇性的要求降低。
模型論給數(shù)學(xué)帶來許多新結(jié)果，我們大致可以分成三大部分：在代數(shù)方面的應(yīng)用主要是在群論和域論方面；在分析方面的應(yīng)用主要是非標(biāo)準(zhǔn)分析；在拓樸學(xué)、代數(shù)幾何學(xué)方面的應(yīng)用主要是拓?fù)渌估碚摗?/p>
模型論在代數(shù)學(xué)中最早的應(yīng)用是量詞的消去，早在三十年代，就由此得到了整數(shù)加法群的判定步驟，塔爾斯基得到實(shí)數(shù)的可定義集和實(shí)數(shù)域的判定步驟。
1965年以后，數(shù)理邏輯的發(fā)展逐步影響到數(shù)學(xué)本身，因而重新引起數(shù)學(xué)家們的注意，特別是集合論與模型論的結(jié)果不斷沖擊數(shù)學(xué)本身。模型論在解決代數(shù)問題方面顯示巨大威力，特別是艾柯斯及柯辰解決了著名的阿廷猜想，這個(gè)問題曾使代數(shù)學(xué)家為難了幾十年。
非標(biāo)準(zhǔn)分析是羅濱遜在1960年創(chuàng)造的。1961年1月，在美國(guó)數(shù)學(xué)大會(huì)上，羅濱遜宣布了他的非標(biāo)準(zhǔn)分析，其實(shí)這就是邏輯學(xué)家所謂的實(shí)數(shù)的非標(biāo)準(zhǔn)模型。在這篇報(bào)告中，他總結(jié)了新方法的所有重要方面，因此無可爭(zhēng)辯地成為這個(gè)新領(lǐng)域的獨(dú)一無二的創(chuàng)造者。他指出，實(shí)數(shù)系統(tǒng)是全序域，具有阿基米德性質(zhì)，也就是任何一個(gè)正實(shí)數(shù)經(jīng)過有限次自己加自己之后可以超過任何一個(gè)實(shí)數(shù)。但是非標(biāo)準(zhǔn)實(shí)數(shù)一般并不滿足這個(gè)條件，比如說一個(gè)無窮小量的一千倍，一萬倍、一億倍甚至更多，也大不過
1，這個(gè)性質(zhì)稱為非阿基米德性質(zhì)。
最近，非標(biāo)準(zhǔn)分析在分析、微分幾何學(xué)、代數(shù)幾何學(xué)、拓?fù)鋵W(xué)有一系列的應(yīng)用，使數(shù)學(xué)家對(duì)非標(biāo)準(zhǔn)分析也不得不另眼相看了，特別是非標(biāo)準(zhǔn)拓?fù)浜头菢?biāo)推測(cè)度論近來更是有重要的突破。
非標(biāo)難測(cè)度論已經(jīng)得出許多新的“標(biāo)準(zhǔn)”結(jié)果，如關(guān)于測(cè)度的擴(kuò)張、位勢(shì)理論、布朗運(yùn)動(dòng)理論、隨機(jī)微分方程、最優(yōu)控制理論，甚至運(yùn)用到數(shù)理經(jīng)濟(jì)學(xué)及高分子物理化學(xué)當(dāng)中。其中關(guān)鍵來自1975年洛布的工作。他從非標(biāo)準(zhǔn)測(cè)度空間能造出豐富的標(biāo)準(zhǔn)測(cè)度空間，使得非標(biāo)準(zhǔn)分析真正能對(duì)標(biāo)準(zhǔn)數(shù)學(xué)作出自己的貢獻(xiàn)。
拓?fù)渌故墙y(tǒng)—現(xiàn)代數(shù)學(xué)的最新基礎(chǔ)，它反映了數(shù)理邏輯與范演論的結(jié)合。范疇論大約在六十年代初由同調(diào)代數(shù)學(xué)脫胎而出，而同調(diào)代數(shù)則在四十年代末到六十年代初由代數(shù)拓?fù)鋵W(xué)發(fā)展而來。代數(shù)拓?fù)鋵W(xué)則是用群、環(huán)、域、模等代數(shù)結(jié)構(gòu)來刻化幾何圖形的拓?fù)浣Y(jié)構(gòu)。同調(diào)代數(shù)學(xué)則用代數(shù)結(jié)構(gòu)來刻化代數(shù)結(jié)構(gòu)，比如說一組群與另一組的對(duì)應(yīng)關(guān)系。把這個(gè)組發(fā)展到集合或其它任何結(jié)構(gòu)，研究范躊與范躊之間的關(guān)系就是范疇論。
我們可以考慮幾何的范躊和范躊的范躊。1963年出現(xiàn)了層的范疇，這就是拓?fù)渌�。托普斯使范疇方法迅速推廣到其他數(shù)學(xué)分支中去。1970年，勞威爾等人引進(jìn)一種特殊的范疇—初等拓?fù)渌�。幾年之后，證明了一個(gè)重要結(jié)果，一個(gè)初等拓?fù)渌拐檬歉唠A直覺主義集合論的模型。因此，初等拓?fù)渌咕拖蠹弦粯映蔀閿?shù)學(xué)的基礎(chǔ)，而且更接近數(shù)學(xué)的內(nèi)容。
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