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布勞威爾認(rèn)為數(shù)學(xué)直覺的世界和感覺的世界是互相對立的，日常的語言屬于感覺世界，不屬于數(shù)學(xué)。數(shù)學(xué)獨立于語言存在，而邏輯是從屬于語言的，它不是揭露真理的工具，而是運用語言的手段。正因為如此，數(shù)學(xué)中最主要的進(jìn)展不是靠邏輯形式完美化而得到，而是靠基本理論本身的變革。
布勞威爾認(rèn)為邏輯規(guī)律并不對數(shù)學(xué)有什么約束作用，數(shù)學(xué)是自由的，不一定遵守什么邏輯規(guī)則。他認(rèn)為經(jīng)典邏輯是從有限集合的數(shù)學(xué)抽象出來，沒有理由運用到無窮集合。1908年，他反對把排中律運用于無窮集合上，因為有窮集合可以逐個檢查，而無窮集合則辦不到，因此存在不可斷定真假的第三種情況，就是說有既不可證明，又非得要證明的命題。
1908年到1913年，布勞威爾主要從事拓?fù)鋵W(xué)的研究，他運用單形逼近的方法證明了維數(shù)的拓?fù)洳蛔冃�，這在數(shù)學(xué)上是個了不起的成就，是極重要的拓?fù)浞椒āＫ诶钊�、幾何等方面也有出色的工作，不過很快他又轉(zhuǎn)向基礎(chǔ)研究。
布勞威爾象康德和彭加勒一樣，認(rèn)為數(shù)學(xué)定理是先驗綜合真理。他在1912年的阿姆斯特丹大學(xué)就職演說中，他承認(rèn)由于非歐幾何的發(fā)展，康德的空間學(xué)說不可信。但他同弗雷格和羅素相反，仍然堅持康德的觀點，算術(shù)是從對時間的直覺導(dǎo)出的。由于現(xiàn)代數(shù)學(xué)是建立在算術(shù)基礎(chǔ)上的，所以整個數(shù)學(xué)也是如此。正是時間單位的序列產(chǎn)生序數(shù)的概念，而連續(xù)統(tǒng)[0，1]只是不可用新單位窮盡的居間性，他認(rèn)為幾何學(xué)也依賴于這種直覺。他認(rèn)為除了可數(shù)集合之外，沒有其他集合，所以ω以上的超窮數(shù)都是胡說八道，象
0與
1之間所有實數(shù)的集合是毫無意義的。這點他在1908年羅馬召開的國際數(shù)學(xué)家大會上講過，數(shù)學(xué)無窮集合只有一個基數(shù)，即可數(shù)無窮。
1909年他同希爾伯特通信，指出形式主義和直覺主義的爭論焦點。1912年說到這個問題之后，他一直到1917年才又開始這方面的論戰(zhàn)。從這時起到二十年代末他發(fā)表一系列的文章，開始建立一個不依靠排中律的集合論，接著又建立構(gòu)造的測度論及函數(shù)論，這是他從消極的否定轉(zhuǎn)變?yōu)榉e極的構(gòu)造。同時他試圖使數(shù)學(xué)家相信排中律導(dǎo)出矛盾。他運用了扇定理，這個定理及選擇序列、散集等是他的直覺主義數(shù)學(xué)的獨創(chuàng)。
三十年代初期由于哥德爾的工作，許多數(shù)學(xué)家開始重視直覺主義。外爾早在1920年左右就表示效忠于直覺主義，從而激起希爾伯特的極大憤怒。他吸收了直覺主義一些思想，開始用有限主義方法來完成證明論方案，企圖一勞永逸地解決基礎(chǔ)問題，不料沒能成功，于是還得求助于無窮。
直覺主義仍然進(jìn)行他們的事業(yè)，特別是海丁建立直覺邏輯系統(tǒng)，它包含古典邏輯系統(tǒng)。后來更有人建立直覺主義集合論及直覺主義分析。不過，仍然不能盡如人意。
1967年，美國數(shù)學(xué)家畢肖普出版《構(gòu)造性分析》一書，開始了構(gòu)造主義的時期。他們不象以前直覺主義者那樣偏激，而是積極采用構(gòu)造的方法解決一個個具體問題。不去單純的否定或爭論。畢肖普自信會取得大多數(shù)人的支持，不過沒有能實現(xiàn)，因為他們畢竟成就有限，難于同整個數(shù)學(xué)汪洋大海相比，可是十幾年來構(gòu)造主義還是取得一定進(jìn)展，如《構(gòu)造性泛函分析》等書問世，說明它還有一定的市場。
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