1.3 第一次數(shù)學(xué)危機(jī)的產(chǎn)物—古典邏輯與歐氏幾何學(xué)
亞里士多德的方法論對(duì)于數(shù)學(xué)方法的影響是巨大的，他指出了正確的定義原理。亞里士多德繼承自己老師柏拉圖的觀念，把定義與存在區(qū)分，由某些屬性來(lái)定義的東西可能未必存在(如正九面體)。另外，定義必須用已存在的定義過(guò)的東西來(lái)定義，所以必定有些最原始的定義，如點(diǎn)、直線等。而證明存在的方法需要規(guī)定和限制。
亞里士多德還指出公理的必要性，因?yàn)檫@是演繹推理的出發(fā)點(diǎn)。他區(qū)別了公理和公設(shè)，認(rèn)為公理是一切科學(xué)所公有的真理，而公設(shè)則只是某一門學(xué)科特有的最基本的原理。他把邏輯規(guī)律(矛盾律、排中律等)也列為公理。
亞里士多德對(duì)邏輯推理過(guò)程進(jìn)行深入研究，得出三段論法，并把它表達(dá)成一個(gè)公理系統(tǒng)，這是最早的公理系統(tǒng)。他關(guān)于邏輯的研究不僅使邏輯形成一個(gè)獨(dú)立學(xué)科，而且對(duì)數(shù)學(xué)證明的發(fā)展也有良好的影響。
亞里士多德對(duì)于離散與連續(xù)的矛盾有一定闡述。對(duì)于潛在的無(wú)窮(大)和實(shí)在的無(wú)窮(大)加以區(qū)別。他認(rèn)為正整數(shù)是潛在無(wú)窮的，因?yàn)槿魏握麛?shù)加上1以后總能得到一個(gè)新的數(shù)。但是他認(rèn)為所謂“無(wú)窮集合”是不存在的。他認(rèn)為空間是潛在無(wú)窮的，時(shí)間在延長(zhǎng)上是潛在無(wú)窮的，在細(xì)分上也是潛在無(wú)窮的。
歐幾里得的《幾何原本》對(duì)數(shù)學(xué)發(fā)展的作用無(wú)須在此多談。不過(guò)應(yīng)該指出，歐幾里得的貢獻(xiàn)在于他有史以來(lái)第一次總結(jié)了以往希臘人的數(shù)學(xué)知識(shí)，構(gòu)成一個(gè)標(biāo)準(zhǔn)化的演繹體系。這對(duì)數(shù)學(xué)乃至哲學(xué)、自然科學(xué)的影響一直延續(xù)到十九世紀(jì)。牛頓的《自然哲學(xué)的數(shù)學(xué)原理》和斯賓諾莎的《倫理學(xué)》等都采用了歐幾里得《幾何原本》的體例。
歐幾里得的平面幾何學(xué)為《幾何原本》的最初四篇與第六篇。其中有七個(gè)原始定義，五個(gè)公理和五個(gè)公設(shè)。他規(guī)定了存在的證明依賴于構(gòu)造。
《幾何原本》在西方世界成為僅次于《圣經(jīng)》而流傳最廣的書籍。它一直是幾何學(xué)的標(biāo)準(zhǔn)著作。但是它還存在許多缺點(diǎn)并不斷受到批評(píng)，比如對(duì)于點(diǎn)、線、面的定義是不嚴(yán)格的：“點(diǎn)是沒(méi)有部分的對(duì)象”，“線是沒(méi)有寬度的長(zhǎng)度(線指曲線)”，“面是只有長(zhǎng)度和寬度的對(duì)象”。顯然，這些定義是不能起邏輯推理的作用。特別是直線、平面的定義更是從直觀來(lái)解釋的(“直線是同其中各點(diǎn)看齊的線”)。
另外，他的公理五是“整體大于部分”，沒(méi)有涉及無(wú)窮量的問(wèn)題。在他的證明中，原來(lái)的公理也不夠用，須加上新的公理。特別是平行公設(shè)是否可由其他公理、公設(shè)推出更是人所矚目的問(wèn)題。盡管如此，近代數(shù)學(xué)的體系特點(diǎn)在其中已經(jīng)基本上形成了。
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