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 有趣而稀少的完美數(shù)

完全數(shù),又稱完美數(shù),是一些特殊的自然數(shù),它所有的真因子(即除了自身以外的約數(shù))的和,恰好等于它本身。

關于完全數(shù)的研究至少已經(jīng)有兩千多年的歷史。完全數(shù)最早是由畢達哥拉斯的信徒發(fā)現(xiàn)的。他們發(fā)現(xiàn),數(shù)6的一個特點,6=1+2+3 ,就是它等于它自己的所有因子(不包括它自身)的和,下一個具有同樣性質(zhì)的數(shù)是28,28=1+2+4+7+14。后面接著是496和8128。

         

人們稱這類數(shù)為完美數(shù)。大約是在公元前350-300年期間歐幾里得證明了: 若2 n-1是素數(shù),則數(shù)2n-1(2n-1)是完全數(shù)。他在《幾何原本》中就討論有關尋求某種類型完全數(shù)的問題。

  

完全數(shù)是非常奇特的數(shù),它們有一些特殊性質(zhì),如每個完全數(shù)都是三角形數(shù)。即都能寫成:n(n+1)/2 

 


6=1+2+3=3*4/2
28=1+2=3+4+5+6+7=7*8/2
496=1+2+3+4+……+31=31*32/2
……
2 n-1(2n-1)=1+2+3+……+(2n-1)=(2n-1)2n/2

      

除了6之外它們都是連續(xù)奇數(shù)的立方和。把它們(6除外)的各位數(shù)字相加,直到變成一位數(shù),那么這個一位數(shù)一定是1。


22(23-1)=28=13+33
24(25-1)=496=13+33+53+73
26(27-1)=8128=13+33+53+73+93+113+133+153
……
2n-1(2n-1)=13+33+53+……+(2(n+1)/2-1)3

 除了因子1之外,每個完全數(shù)的所有因子(包括自身)的倒數(shù)和等于1。


1/2+1/3+1/6=1
1/2+1/4+1/7+1/14+1/28=1

 

完全數(shù)都是以6或8結尾的,如果以8結尾,那么就肯定是以28結尾。

 

下面是完全數(shù)用二進制的表示: 
110
11100
111110000
1111111000000……

 

數(shù)論里有一個著名的函數(shù)σ(n),表示自然數(shù)n的所有因子之和,包括因子n本身在內(nèi)。于是利用σ(n)。完全數(shù)可以定義為使得σ(n)=2n的數(shù)。注意以上談到的完全數(shù)都是偶完全數(shù),至今仍然不知道有沒有奇完全數(shù)。

17世紀的法國教士馬丁·梅森是其中成果較為卓著的一位,因此后人將“2的n次方減1”形式的
素數(shù)稱為梅森素數(shù)。歐拉證明了歐幾里得關于完全數(shù)定理的逆定理,即:每個偶完美數(shù)都具有這種形式: 2P-1 (2P-1),其中2P-1是素數(shù)。

這就在完全數(shù)與梅森數(shù)之間建立了緊密的聯(lián)系,到目前為止,共發(fā)現(xiàn)了46個梅森素數(shù),這就是說已發(fā)現(xiàn)了46個完全數(shù)。

下表給出了前18個完全數(shù):

完全數(shù)Pp 序號 p Mp的位數(shù) Pp的位數(shù) 年代 發(fā)現(xiàn)者
6 1 2 1 1 ---- ----
28 2 3 1 2 ---- ----
496 3 5 2 3 ---- ----
8128 4 7 3 4 ----  ---- 
33550336 5 13 4 8 1456 anonymous
8589869056 6 17 6 10 1588 Cataldi
137438691328 7 19 6 12 1588 Cataldi
2305843008139952128 8 31 10 19 1772 Euler
  9 61 19 37 1883 Pervushin
  10 89 27 54 1911 Powers
  11 107 33 65 1914 Powers
  12 127 39 77 1876 Lucas
  13 521 157 314 1952 Robinson
  14 607 183 366 1952 Robinson
  15 1279 386 770 1952 Robinson
  16 2203 664 1327 1952 Robinson
  17 2281 687 1373 1952 Robinson
  18 3217 969 1937 1957 Riesel