他感到困惑：在數(shù)學上，他或者其他任何人還能再做點別的什么？他的最大雄心之一是要計算任意幾何體的體積和表面積；然而他還不知道該怎么下手。他使用的工具是純粹幾何的，基于希臘數(shù)學家們的數(shù)百年的研究并在他出生數(shù)十年前由歐幾里得編寫在他的名著《原本》中的那些知識。鑒于數(shù)學工具的十分缺乏，局限了阿基米德的視野。他得不出分數(shù)相加、相乘的快捷方法。為此，人們得花上千年時間等待十進制由印度和阿拉伯傳到歐洲并使其發(fā)展。十進制的引進所帶來的符號簡化在其力所能及的范圍是革命性的。
將阿基米德留在敘拉古的沙灘上，讓他去思考數(shù)學的未來還有些什么吧，現(xiàn)在我們?nèi)ピ煸L艾薩克·牛頓爵士（1642－1727）。23 歲時，當時剛?cè)〉脛虼髮W學士學位，牛頓便被迫回家度過了18
個月光陰，因為那時正值大瘟疫，使大學關(guān)了門。在這短短的時間里，牛頓有了許多基本的發(fā)現(xiàn)，數(shù)學上他發(fā)現(xiàn)了二項式定理及微積分的初期形式，在物理上則發(fā)現(xiàn)了白光的組成及萬有引力定律，現(xiàn)在我們?nèi)粫晔乱迅叩呐ｎD，并問一問他那個同樣對阿基米德提出的問題：什么是數(shù)學的未來？他可能會很快回應(yīng)道，簡單的回答是，繼續(xù)建造微積分。借助于微積分，牛頓可以把任何幾何形狀的體積和表面積用積分來表示，并能計算到任意精確度，這是阿基米德所不能想象的，牛頓思考著這樣的事實，即用萬有引力定律和他自己的力學三基本定律（他會說‘我的定律’），他能夠以解微分方程的辦法來算出運動物體的軌跡，而這些方程表現(xiàn)了力的平衡，那么，他自問道：‘我們能用微分方程去描述其他的自然法則，從而能以發(fā)展解出這些方程的工具的方法來預言自然的進程嗎？’但即便是牛頓的視野也不可避免地有所局限。
從這時起到高斯（1777 -1885）在數(shù)論中的基本發(fā)展花去了一百年，而到發(fā)展微幾何的復雜性和黎曼流形則又多花了五十年。當我們離現(xiàn)代越近則越容易預測未來，大衛(wèi)·希爾伯特（1862
－1943）是一位對數(shù)學的幾乎每一個領(lǐng)域都有本質(zhì)性的貢獻的人。他在1900年巴黎召開的國際數(shù)學家大會上列出一系列著名的數(shù)學問題，在這整個20
世紀對各個數(shù)學領(lǐng)域有著極大的影響，比如在數(shù)論、集合論、幾何、拓撲論及偏微分方程。
在最近的五十年中，我們親自體察了在數(shù)學的許多領(lǐng)域中的巨大進展。在我所從事的偏微分方程（PED）這一領(lǐng)域中，我們現(xiàn)在有了一個巨大的知識主體，使我們能夠去理解，預測并計算許多重要的物理和技術(shù)過程。例如，當我們測量一個固體的表面溫度，我們就可通過解稱之為“熱傳導方程”的偏微方程去推導出物體內(nèi)部的溫度，如果從外部加熱一個冰塊，它開始融化，我們在微分方程方面的知識使我們可以斷定融化了的體積是怎樣變化的，以及在融化了的體積中的水溫。“梁桿方程”同樣能預言當承受壓縮力時一個彈性梁是如何變化。當加在梁上的壓力超過一個臨界值時，它就會突然翹曲，形變?yōu)樵S多狀態(tài)中的一種。這種情形解釋了微分方程解的多重性。
不管我們在微分方程方面的知識有多么豐富，仍然有許多東西我們不知道。舉例來說，我們不知道氣體動力方程是否有一個數(shù)學解，這個方程是用來確定飛機周圍和發(fā)動機內(nèi)的氣流的。我們沒有合適的知識來處理預測水的運動方程的解，從而我們對海洋的渦流缺乏了解，這些及其他許多的基本問題仍然期待得到數(shù)學的解答，在未來十年中它們?nèi)允巧钊胙芯康闹黝}。
數(shù)學的其他領(lǐng)域無疑也處在同樣的不確定狀態(tài)：雖然取得巨大進展，依然有許多基本問題沒有解決。相對于早先的世紀而言我們處在一個充滿冒險和刺激的地位：我們已經(jīng)發(fā)展了許多重要的研究領(lǐng)域，已經(jīng)有了許多強有力的計算和理論的工具。數(shù)學家們在未來許多年里可以繼續(xù)忙于用現(xiàn)在的工具去尋找新方法，用來解決在數(shù)學和非數(shù)學（即科學和工程）領(lǐng)域中出現(xiàn)的問題。
然而數(shù)學史表明，由現(xiàn)在去預言長遠未來的發(fā)現(xiàn)是多么徒勞。的確如此，在今天難以想象的數(shù)學的新領(lǐng)域，會完全料想不出地冒出來。因此我不去預測下個世紀數(shù)學的未來而在這里舉出科技中三個關(guān)鍵領(lǐng)域的例子，在那里數(shù)學是以誠相待非常重要的成份出現(xiàn)的。這三個領(lǐng)域是材料科學，生命科學和數(shù)碼技術(shù)。
材料科學中的數(shù)學
材料科學所關(guān)心的是性質(zhì)和使用。目的是合成及制造新材料，了解并預言材料的性質(zhì)以及在一定時間段內(nèi)控制和改進這些性質(zhì)。不久以前，材料科學還主要是在冶金，制陶和塑料業(yè)中的經(jīng)驗性研討，今天卻是個大大增長的知識主體，它基于物理科學，工程及數(shù)學。所有材料的性質(zhì)最終取決于它們的原子及其組合成的分子結(jié)構(gòu)。例如，聚合體是由簡單分子組合成的物質(zhì)，而這些分子是些重復的結(jié)構(gòu)單元，稱之為單體。單個的聚合體分子可以由數(shù)百至百萬個單體構(gòu)成并具有一個線性的，分枝或者網(wǎng)絡(luò)的結(jié)構(gòu)。
聚合體的材料可以是液態(tài)也可以是固態(tài)，其性質(zhì)取決于加工它的方式（譬如，先加熱，逐漸冷卻，高壓）。聚合體的交錯纏繞的排列提出了一個困難的建模問題。但是，在一些領(lǐng)域中數(shù)學模型已經(jīng)表現(xiàn)得相當可靠，這些模型非常復雜，故而迄今只取得很少幾個結(jié)果，它們對聚合體加工可能有用，聚合體的較簡單但卻更表象的模型是基于連續(xù)介質(zhì)力學，但附加了要記憶的一些條件。對材料科學家來說，解的穩(wěn)定性與奇點是重要的結(jié)果，但甚至對于這些較簡單的模型仍缺少數(shù)學。
復合材料的研究是另一個運用數(shù)學研究的領(lǐng)域，如果我們在一種材料顆粒中攙入另一種材料，得到一種復合材料而其顯示的性質(zhì)可能根本不同于組成它的那些材料，例如汽車公司將鋁與硅碳粒子相混合以得到重量輕的鋼的替代物。帶有磁性粒子充電粒子的氣流能提高汽車的制動氣流和防撞裝置的效果。
最近十年來，數(shù)學家們在泛函分析，PDE及數(shù)值分析中發(fā)展了新的工具，使他們能夠估計或計算混合物的有效性質(zhì)。但是新復合物的數(shù)目不斷增長，同時新的材料也不斷被開發(fā)出來，迄今所取得的數(shù)學成就只能看作一個相當不錯的開始。甚至對已經(jīng)研究了好些年的標準材料仍面臨著大量的數(shù)學挑戰(zhàn)。例如，當一個均勻的彈性體在承受高壓時會破裂。破裂是從何處又是怎樣開始的，它們是怎樣擴展的，何時它們分裂成許多裂片，這些都是有待研究的問題。
生物學中的數(shù)學
在生物學和醫(yī)藥科學中也出現(xiàn)了數(shù)學模型, 炒得很熱的基因方案的一些重要方面需要統(tǒng)計, 模型識別以及大范圍優(yōu)化法 雖不太熱卻是長期挑戰(zhàn)的是生物學其他領(lǐng)域中的進展, 比如在生理學方面, 拿腎臟作個例子吧, 腎的功能是以保持危險物質(zhì)( 如鹽) 濃度的理想水平來規(guī)范血液的組成。如果一個人攝入了過多的鹽，腎就必須排出鹽濃度高于血液中所含濃度的尿液。在腎的四周上有上百萬個小管，稱作腎單位，負有從血液中吸收鹽份轉(zhuǎn)入腎中的職責，他們是通過與血管接觸的一種傳輸過程來完成的，在這個過程中滲透壓力過濾起了作用。生物學家已把這過程涉及到的物質(zhì)與人體組織視為一體了，但過程的精確過程卻還只是勉強弄明白了。
腎臟的運作過程的一個初級數(shù)學模型，雖然簡單，卻已經(jīng)幫助說明了尿的形成以及腎臟做出的抉擇，比如是排出一大泡稀釋的尿還是一小泡濃縮的尿，然而我們僅僅是在了解這種機理的非常初級的階段。一個更加完全的模型可能會包含 PDE 、
隨機方程、流體力學、彈性力學、濾波論及控制論，或許還有一些我們尚不具備的工具。心臟力學、鈣（骨）力學、聽覺過程、細胞的附著與游離（對生物過程是非常重要的，如發(fā)炎與傷口愈合）以及生物流體是生理學中其他一些學科，在那里現(xiàn)代數(shù)學研究已經(jīng)取得了一些成就；更多的成就會隨后而至。
數(shù)學將要取得重要進展的其他領(lǐng)域，包括有一般性的生長過程和特殊的胚胎學、細胞染色、免疫學、反復出現(xiàn)的傳染病，還有環(huán)保項目如植物中的大范圍現(xiàn)象及動物群體性的建模。當然我們決不能忘記還有人類的大腦，自然界最棒的計算機，還有它所具有的感覺神經(jīng)元、動作神經(jīng)元以及感情和夢想！
多媒體中的數(shù)學
大約五十年前建成了第一臺計算機，從而開始了一場可從表面上看1760 年到1840年發(fā)生在英國的產(chǎn)業(yè)革命相匹比的靜那牡母命。我們現(xiàn)在親自證實了這場計算機革命的完全沖擊：在商業(yè)、制造業(yè)、保健機構(gòu)及工程業(yè)，與計算和通訊技術(shù)的進步相配的是數(shù)字信息的萌芽狀態(tài)，它已為多媒體鋪出了一條路，其產(chǎn)品包括了文字圖像、電影、錄像、音樂、照像、繪畫、卡通、數(shù)據(jù)、游戲及多媒體軟件，所有這些都由一個單獨站址發(fā)送。
多媒體的數(shù)學包括了一個大范圍的研究領(lǐng)域，它包含有計算機可視化，圖像處理，語音識別及語言理解、計算機輔助設(shè)計和新型網(wǎng)絡(luò)。這些會有廣泛的應(yīng)用，應(yīng)用于制造業(yè)、商業(yè)、銀行業(yè)、醫(yī)療診斷、信息及可視化，還有娛樂業(yè)，這只點出了幾個而已。多媒體中的數(shù)學工具可能包括隨機過程、Marko 場、統(tǒng)計模型、決策論、PDE 、數(shù)值分析、圖論、圖表算法、圖象分析及小波等。還有其他一些領(lǐng)域中的一些，目前似乎還處在某種程度的監(jiān)護下，如人造生命和虛擬世界。
計算機輔助設(shè)計正在成為許多工業(yè)部門的強大工具：完全在計算機上設(shè)計，在鍵盤上一敲后產(chǎn)品便在遠處的工廠里實現(xiàn)了。這種技術(shù)能成為數(shù)學家進行研究的工具嗎？萬維網(wǎng)已經(jīng)成為多媒體最強勁的動力。它未來的輝煌取決于許多新的數(shù)學思想和算法的發(fā)展，目前仍處在孩提時期。隨著多媒體技術(shù)的擴展，對于保護私人數(shù)據(jù)的通訊文本的需要也與日俱增。發(fā)展一個更加安全的密碼系統(tǒng)就是數(shù)學家們的任務(wù)了。為此，他們必定要借助于在數(shù)論、離散數(shù)學、代數(shù)幾何及動力系統(tǒng)方面的新進展，當然還有其他一些領(lǐng)域。
在物質(zhì)的與生命的科學和在技術(shù)的發(fā)展中，數(shù)學繼續(xù)起著與日俱增的重要作用。
正如阿基米德站在敘拉古的海灘上一樣，這里我們正站在一個新世紀和一個新千年的門檻上。我們只能推測，新的理論最終會解決一切向數(shù)學挑戰(zhàn)的問題，無論它是來自我們生活的世界還是來自數(shù)學本身。在過去的幾個世紀里我們獲得了驚人的大量知識，但正如阿基米德和牛頓一樣，我們依然在不斷擴展的數(shù)學地平線的門口。
作者：費德曼（Avner Firedman ，美國明尼蘇達大學數(shù)學及應(yīng)用研究所所長）
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