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林群：據(jù)您所說的，站在數(shù)學內部看，上個世紀的數(shù)學必須歸結到1900年8月6日，在巴黎召開的第二屆國際數(shù)學家大會代表會議上，38歲的德國數(shù)學家希爾伯特(Hilbert, 1862--1943)所發(fā)表的題為《數(shù)學問題》的著名講演。他根據(jù)過去特別是十九世紀數(shù)學研究的成果和發(fā)展趨勢，提出了23個最重要的數(shù)學問題。這23個問題通稱希爾伯特問題。這一演說成為世界數(shù)學史發(fā)展的里程碑，為20世紀的數(shù)學發(fā)展揭開了光輝的一頁。在這23個問題中，頭6個問題與數(shù)學基礎有關，其他17個問題涉及數(shù)論、不定積分、二次型理論、不變式理論、微分方程、變分學等領域。
到了1905年，愛因斯坦創(chuàng)立了狹義相對論（事實上，有兩位數(shù)學家，龐加萊和洛倫茲也已經(jīng)走到了相對論的門口），1907年，他發(fā)現(xiàn)狹義相對論應用于物理學的其他領域都很成功，唯獨不能應用于萬有引力問題。為了解決這個矛盾，愛因斯坦轉入了廣義相對論的研究，并很快確立了“廣義相對論”和“等效理論”，但數(shù)學上碰到的困難使他多年進展不大。大約在1911年前后，愛因斯坦終于發(fā)現(xiàn)了引力場和空間的幾何性質有關，是時空彎曲的結果。因此愛因斯坦應用的數(shù)學工具是非歐幾何。1915年，愛因斯坦終于用黎曼幾何的框架，以及張量分析的語言完成了廣義相對論。
還有您講的德國女數(shù)學家諾特（1882~1935）發(fā)表的論文《環(huán)中的理想論》標志著抽象代數(shù)現(xiàn)代化開端。她教會我們用最簡單、最經(jīng)濟、最一般的概念和術語去進行思考：如同態(tài)、理想、算子環(huán)等等。
還有其它許多數(shù)學大成果。偷懶一點說，20世紀近50名菲爾茲數(shù)學獎得主的工作都是數(shù)學內部的大成果。但從數(shù)學以外，或從推動社會發(fā)展這個角度來看，也許與計算機的算法研究有關的數(shù)學，更有影響。這種研究發(fā)生在第二次世界大戰(zhàn)前后，有三位數(shù)學家（圖靈、哥德爾、馮.諾依曼），而不是工程師，由于對于計算機的誕生、設計和發(fā)展起了奠基和指導的作用，因此被列入20世紀“百年百星”的名單中。
另外兩位獲得諾貝爾獎的純數(shù)學家（康托洛維奇、納什）也是與算法研究（或軍事數(shù)學）有關，后者被拍成電影，剛獲得奧斯卡獎。我國首屆國家最高科技獎（不是數(shù)學獎）得主吳文俊的工作也包括了算法的研究。有一次在中國十大科技進展中有一項數(shù)學家堵丁柱的工作，也是有關算法的。值得注意的是，這些人都沒有獲得菲爾茲獎。
與算法研究（或軍事數(shù)學）有關的，還有籌學、密碼學以及大規(guī)�？茖W工程計算等等。我怎么會有一個模模糊糊的感覺（被吳文俊感染的？），好象二十世紀中，以算法為主干的數(shù)學研究對于外部世界，科技和軍事，有相當直接的影響。本世紀（信息、材料、生物）是否還會如此？等著瞧！
二、數(shù)學研究領域的重大難題
記者：剛才林院士為我們勾勒了二十世紀數(shù)學研究的圖景。應該說在20世紀，無論是經(jīng)典的數(shù)學分支，還是新興的數(shù)學分支，都取得了相當大的進展。然而我們也看到，在數(shù)學研究的歷程中，存在諸多遺憾，有多難題至今沒有解決，或者沒有得到完美的解決。林先生，在數(shù)學研究當中，您認為在數(shù)學領域存在著哪些重大難題？
林群：至于難題，應該說解決需要很大的決心，我以為我們科研工作者能做好自己的本職工作，上個世紀沒有解決的難題，這個世紀也未必可以解決。應該說二十世紀是數(shù)學大發(fā)展的世紀。從報道上看，數(shù)學的許多重大難題得到了解決，如費爾瑪大定理的證明，有限單群分類工作的完成等，從而使數(shù)學的基本理論得到空前發(fā)展。 計算機的出現(xiàn)是20世紀數(shù)學發(fā)展的重大成就，同時極大推動了數(shù)學理論的深化和數(shù)學在社會和生產(chǎn)力第一線的直接應用�；厥�20世紀數(shù)學的發(fā)展，象您所說的，數(shù)學家們深切感謝20世紀最偉大的數(shù)學大師大衛(wèi)·希爾伯特。正如我們在開始談到的，希爾伯特在1900年8月8日于巴黎召開的第二屆世界數(shù)學家大會上的著名演講中提出了23個數(shù)學難題。希爾伯特問題在過去百年中激發(fā)數(shù)學家的智慧，指引數(shù)學前進的方向， 其對數(shù)學發(fā)展的影響和推動是巨大的，無法估量的。效法希爾伯特，許多當代世界著名的數(shù)學家在過去幾年中整理和提出新的數(shù)學難題，希望為新世紀數(shù)學的發(fā)展指明方向。
數(shù)學領域其他的難題可以說層出不窮，根據(jù)您提供的信息，簡單的至少有以下幾個：
第一個是哥德巴赫猜想
第二個是連續(xù)統(tǒng)之謎
第三個是四色問題
第四個是幾何的三大問題
第五個是費馬最后定理
第六個是七橋問題（一筆畫問題）
七、我國數(shù)學研究現(xiàn)狀與對遠程教育的看法
記者：目前，我國基礎教育正在進行課程改革和全力推行素質教育，您認為我國中小學數(shù)學教育存在什么問題，應該如何解決？
林群：數(shù)學是個繼承的學問，最主要的部分是小學的數(shù)學，是我們學習數(shù)學的基礎。中學把算術提升到代數(shù)，來求解方程，并且出現(xiàn)了幾何，具有了數(shù)形，這樣就有了初等的數(shù)學的雛形，初等數(shù)學研究固定不變的東西，然而我們的世界是變化的，高等數(shù)學研究變化的東西，在研究方法上，以不變求萬變。把變化的東西瞬間凍結起來，就變成不變的東西。歸根結底，我們要把變化東西變成不變的東西，再利用初等數(shù)學的方法去研究，所以中小學數(shù)學太重要了。笛卡爾（偉大的哲學家，數(shù)學家）曾經(jīng)說過，拿一個復雜的問題不能接受，除非能分解成很多簡單的問題，而每個問題又能夠容易解決。然后再組裝起來。在我們中國有個老話：化整為零，各個擊破。創(chuàng)新應該是繼承下的創(chuàng)新，不能一步登天。中小學教育非常要緊。而現(xiàn)在的一些中小學教師不知道中小學和大學在什么地方接軌，只知道讓學生解各式各樣的題目，無的放矢。所以教師水平必須提高。我認為教師隊伍以碩士為主，是我國教育的必行之路。
必須要有高素質的教師隊伍，好的教師就有好的教法，教師是非常神圣的事業(yè)。希望廣大教師朝這個目標走，現(xiàn)在很多政策影響我們年輕教師，超級提拔起了很壞的影響。年輕教師必須有幾年積累。數(shù)學是積累第一，天才第二。所有教師要努力，提高素質，教科書改好了，如果沒有高素質的教師，也沒有太大的用處。
我認為可以把數(shù)學的一些基本的問題放到中學中去。應該說“傻瓜數(shù)學”極其重要，數(shù)學應該被大多數(shù)人所掌握，而不是少數(shù)人掌握。比如牛頓積分公式，在古代阿基米德有很多技巧解決微積分上的一些基本問題。世上的人都很崇拜他，認為他很了不起，但是牛頓發(fā)現(xiàn)了積分公式，積分便為大多數(shù)人所掌握。這個公式便是一個“傻瓜化”的過程，使大多數(shù)人只要知道這個公式，經(jīng)過一定的訓練，便能夠做解決很多積分上的問題。計算機上的算法就是解題傻瓜化。在每個領域經(jīng)過訓練就能夠被掌握，為社會服務。
數(shù)學除了需要依靠嚴密的邏輯推理，還有一個發(fā)明和實驗的過程。好的教師除了會證明，還有學會發(fā)明。教會學生去發(fā)明，不是僅僅教會證明。證明三角形內角和 ，是作一條平行線，但是我們事先怎么知道三角形的內角和是 呢？原來是先觀察矩形，矩形的四個角是直角，所以矩形的內角和為 ，矩形能分成兩個相同的直角三角形，所以每個直角三角形的內角和為
，因為每個三角形可以分成兩個直角三角形，這兩個直角三角形排除兩個直角，剩下的就是這個三角形的內角和 。
記者：林先生對遠程教育和教師還有什么建議和期望？
林群：遠程教育方向特別好，是未來教育的發(fā)展方向，代表著時代的潮流，畢竟我們很多地方不能聽見很優(yōu)秀的教師的講課。如果遠程教育能夠完整建立，那么就數(shù)學而言，大部分人都能聽見諸如吳文俊先生的講課，對我們的未來的發(fā)展相當有益，這樣我們能節(jié)約很多人力資源，這些人有更充分的時間作科學研究。但是還有很多問題沒有解決，比如傳輸數(shù)據(jù)的問題，面對面交流的問題，疑難解答的問題等等，如果這些問題解決了，那么我們的遠程教育將有相當大的優(yōu)勢。
中小學是我們培養(yǎng)人才的基石。所以我們必須建設好這一塊，我們的中小學教師默默工作在教育的最前線，成就十分偉大，為中國和世界提供很多人才，我們應該尊重教師的成果，為中國教師有這樣偉大的成就而自豪。
但是我國的中小學教師還有不足，自己的學術視野不夠寬闊，對一些科學的知識背景不了解，還有待于提高，希望我們共勉之。一起為祖國的教育事業(yè)而努力。 |
