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這種觀點(diǎn)是基于將數(shù)論看作是數(shù)學(xué)不可分割的一部分，甚至是拉動(dòng)數(shù)學(xué)發(fā)展的重要內(nèi)部動(dòng)力。數(shù)論絕不是一個(gè)個(gè)孤立問題的總和，或者說，不是僅從整數(shù)的定義出發(fā)就可以研究數(shù)論的。
按照這樣的要求，非常重要的數(shù)論問題就比較少了。眾所周知的黎曼(Riemann)猜想就是一例，它不僅是數(shù)論而且也是數(shù)學(xué)中最重要的問題，這是因?yàn)楸姸嘤杏脝栴}的解決需要依賴于黎曼猜想的解決。哥德巴赫（Goldbach）猜想與費(fèi)馬(Fermat)猜想也是非常重要的。
這兩個(gè)問題本身都沒有什么意思，但對它們的研究導(dǎo)致了非常重要的數(shù)學(xué)發(fā)展。設(shè)想一下，如果這兩個(gè)問題真的只從整數(shù)的定義出發(fā)，或僅用一、兩個(gè)特殊技巧即能證明，那么，它們恐怕最多只能算是漂亮的習(xí)題，會使數(shù)學(xué)家失望的。
費(fèi)馬猜想已由懷爾斯(Wiles)于上世紀(jì)末證明了。在其證明過程中，用到了模形式理論、橢圓曲線理論及伽羅華（Galois）表示理論等，換言之，這是集二十世紀(jì)數(shù)學(xué)理論大成的重大成就。
至于費(fèi)馬猜想的研究對代數(shù)數(shù)論的形成與發(fā)展所起的推動(dòng)作用都是眾所周知的。另外，還有一些古老的數(shù)論問題，如梅森（Mersenne）素?cái)?shù)問題，即形如
M n= 2 n -1
的素?cái)?shù)是否有無窮多？或費(fèi)馬素?cái)?shù)問題，即形如'
Fn= 2 2+1
的素?cái)?shù)是否有無窮多？目前由計(jì)算機(jī)找到的特大素?cái)?shù)都是梅森素?cái)?shù)。無論如何，我認(rèn)為這類問題雖然很有名，但它們與數(shù)學(xué)的主要工具與理論尚無關(guān)系，至少在現(xiàn)在只能看作是智力挑戰(zhàn)性質(zhì)的問題，還不能作為重要的數(shù)論問題。
二、哥德巴赫猜想與費(fèi)馬猜想
哥德巴赫猜想起源于1742年哥德巴赫給歐拉(Euler)的一封信。用略為修改過的語言，可以將它表述為：
（G） 每一個(gè) 6的偶數(shù)都是兩個(gè)奇素?cái)?shù)之和；
（G' ）每一個(gè) 9的奇數(shù)都是三個(gè)奇素?cái)?shù)之和。
命題（G' ）是命題（G）的推論。
事實(shí)上，若m為>=9的奇數(shù)，則n-3為>=6的偶數(shù)，如果（G）成立，則n-3=p1+p2 ，此處p1與p2均為奇素?cái)?shù)，所以，
n=3+p1+p2 ，即（G' ）成立。因此，命題（G）是最根本的。
猜想（G' ）已由維諾格拉多夫（Vinogradov）于1937年基本上解決了，他證明了對于充分大的奇數(shù)，猜想（G' ）成立。
1900年，在第二屆國際數(shù)學(xué)家大會上，希爾伯特(Hilbert)在他的著名演講中，首先闡明了一個(gè)好的數(shù)學(xué)問題，作為數(shù)學(xué)研究的對象與源泉，對于推動(dòng)數(shù)學(xué)的發(fā)展是何等重要！他特別地以費(fèi)馬猜想為例來加以說明。為此，希爾伯特向二十世紀(jì)的數(shù)學(xué)家提出了二十三個(gè)問題，歷史已經(jīng)充分證明了這些問題的重要性。
希爾伯特高瞻遠(yuǎn)矚，預(yù)見到黎曼猜想與哥德巴赫猜想的重要性，將這兩個(gè)問題合起來構(gòu)成了他的第八問題。他還將后者推廣為兩個(gè)素?cái)?shù)變數(shù)的一次方程的求解問題：命a ,
b, c為給定的整數(shù)，求方程
ap+bq=c
的素?cái)?shù)解p,q 。
取a=b=1 ，c為>= 6的偶數(shù)，即得哥德巴赫猜想（G） 。又若取a=1 ，b=-1 及c=2 ，則得，
（A1
）...............................................................p-q=2
，
這對應(yīng)于數(shù)論中著名的孿生素?cái)?shù)猜想，即適合于（A1 ）的素?cái)?shù)對（q，p ）有無窮多。再若取a=2，b=-1，c=-1 即得
（A2 ）...............................................................q=2p+1，
問題為要證明素?cái)?shù)對（p，2p+1）有無窮多。適合（A2 ）的這種素?cái)?shù)q 稱為熱爾曼（Germain）素?cái)?shù)。
我們不妨將希爾伯特提升后的二元一次方程求素?cái)?shù)解的問題統(tǒng)稱為哥德巴赫猜想。哥德巴赫猜想與費(fèi)馬猜想有什么關(guān)系呢？
當(dāng)n=4 時(shí)，費(fèi)馬猜想的證明可以由費(fèi)馬的所謂逐次遞降法直接得出。從而當(dāng)4| n即n=4m 時(shí)，費(fèi)馬方程
xn+yn-zn=(xm)4+(ym)4-(zm)4=0
沒有非尋常解，所謂尋常解為x,y,z 中有一個(gè)為零之解。因此，只要我們能證明，對于所有的奇素?cái)?shù)p ，費(fèi)馬方程
（1）
xn+yn-zn=0
沒有非尋常解即可。
若費(fèi)馬方程（1）有一個(gè)解 { x,y,z } 滿足p \ xyz，
則2 p-1≡1( mod p 2)。
這個(gè)要求甚嚴(yán)，熟知按照費(fèi)馬小定理，我們只能得到則2 p-1≡1( mod p)。
熱爾曼證明了下面的定理：
定理1. 若p為奇素?cái)?shù)，且2p+1=q 亦為素?cái)?shù)，則費(fèi)馬方程（1）沒有適合≠ \
xyz
的解。
證. 假設(shè)定理不真，即存在這樣的一個(gè)解{ x,y,z } 。我們可以假定x,y,z 的最大公因子(x，y，z=1) 。記
（2）...............................................................-x p
(x+y)(zp -zp-1-zp-2y+....+ y p-1 )。
今往證明（2）之右端的兩個(gè)因子互素。事實(shí)上，p \ xyz ，否則，由（2）可知p |x ，這與假設(shè)p \
xyz相矛盾。又若r(≠p) 為一個(gè)素?cái)?shù)及r可以整除（2）之右端的兩個(gè)因子，則得r |
x 與，
y≡ -z (mod r )。
0≡(-y)p-1-(-y)p-2(y)+....+(y)p-1≡pyp-1(mod
r )
后一個(gè)方程即r | pyp-1。由于r \
p，所以，r | y 。再由前一個(gè)方程得r | z ，因此，r | (x,y,z),即 r |1，矛盾。再由整數(shù)環(huán)Z中唯一因子分解定理，可得
（3）..............................................................y+z=Ap ，
（4）..............................................................zp-1-zp-2y+.....yp-1=Tp ，
其中A與T為互素的整數(shù)。類似地，有
（5）..............................................................
x+y=Bp ，
（6）..............................................................
x+z=Cp 。
由于p=q-1/2 ，所以，將（1）式mod q 即得。
若x q-1/2 +yq-1/2 +z q-1/2
≡0 ( mod q )，
由費(fèi)馬小定理知，xq-1 ≡1(mod q)，從而x q-1/2≡+
1( mod q )，等等。所以，q | xyz 時(shí)，上式左端每一項(xiàng)皆≡+
1(mod q) 。由于q>5 ，可知這是不能的。從而，q |
xyz 。由對稱性，我們不妨假定q | x 。由(3)，(5)，(6)可知
Bp+Cp-Ap = 2x+(y+z)-(y+z)=2x
。
所以，
（7）
Bq-1/2+Cq-1/2-Aq-1/2
≡0 (mod q)
同樣，q | ABC 是不可能的，所以，q |
ABC。由于q | x，不能得到q | BC。否則，例如q | B ，則由（5）可知q |
y，再由（1）得q | z，即得(x,y,z) ≥q，矛盾。因此，
q
| A, q / B , q / C 。
由(3)可知，y=-z(mod q)
再由(4)知，Tp=pyp-1(mod q)
又由（5）可知 y≡ Bp(mod q)。
由于(A,T) =1，所以q / T ，因此，
T q-1/2≡pBq-1/2Xp-1(mod q)。
即 +1≡
p (mod q)，
但這是不可能的。定理證完。
若哥德巴赫猜想（A2 ）成立，則應(yīng)該有無窮多個(gè)熱爾曼素?cái)?shù)q存在，即有無窮多個(gè)奇素?cái)?shù)p，使
Xp+Yp+Zp = 0
沒有適合q /
xyz
的解，這無疑是關(guān)于費(fèi)馬猜想的重要結(jié)果。我們似乎可以將此看作是哥德巴赫猜想（希爾伯特第八問題）比費(fèi)馬猜想更深刻的一個(gè)說明。
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