解析數(shù)論在中國
王元
摘要
本文綜述了解析數(shù)論近70年來在中國的發(fā)展以及中國數(shù)學(xué)家在這一領(lǐng)域的重要貢獻， 特別是華羅庚及陳景潤的重大成就。
1、回顧
中國解析數(shù)論研究的創(chuàng)始人是華羅庚，他生于1910年，江蘇金壇人，由于家貧，初中畢業(yè)后，僅念完一年職業(yè)學(xué)校，即輟學(xué)在家。他發(fā)奮自學(xué)數(shù)學(xué)，并能在上�！犊茖W(xué)》雜志上發(fā)表一些初等數(shù)學(xué)文章，從而引起了熊慶來、楊武之等注意。1931年，清華大學(xué)算學(xué)系主任熊慶來邀華羅庚來清華工作，任系助理員。在楊武之的指導(dǎo)下，華羅庚走上了研究數(shù)論之路。
1936年， 清華大學(xué)以訪問學(xué)者名義，送華羅庚去英國劍橋大學(xué)深造，師從哈代（G. H.
Hardy）。在與同輩互相研討下，華羅庚在解析數(shù)論方面取得了突出成就。
由于抗日戰(zhàn)爭爆發(fā)，華羅庚于年回國，在昆明任西南聯(lián)合大學(xué)數(shù)學(xué)系教授，在華羅庚的領(lǐng)導(dǎo)下，閡嗣鶴與鐘開菜跟他一起研究解析數(shù)論。（后來，鐘開萊改習(xí)了概率論）1946年，華羅庚去美國工作。
中華人民共和國剛成立，華羅庚即于1950年初回國服務(wù)。1951年，華羅庚被任命為中國科學(xué)院數(shù)學(xué)研究所所長。
1953年，他在數(shù)學(xué)所組織了“ 數(shù)論導(dǎo)引” 與“ 哥德巴赫（G.Goldbach）猜想“
兩個討論班，指導(dǎo)越民義、許孔時、王元、吳方、魏道政、嚴(yán)士健、任建華研究解析數(shù)論。1956年，華羅庚調(diào)廈門大學(xué)陳景潤來數(shù)學(xué)所工作。
1955年，閔嗣鶴在北京大學(xué)數(shù)學(xué)系開設(shè)解析數(shù)論專門化，參加的學(xué)生有潘承洞、尹文霖、邵品宗與侯天相。以前，閔嗣鶴還指導(dǎo)過遲宗陶。
解析數(shù)論的研究領(lǐng)域也從華羅庚與閔嗣鶴熟悉的指數(shù)和估計及其應(yīng)用拓展到篩法、模形式論、二次型論、丟番圖分析、超越數(shù)論、代數(shù)數(shù)論及數(shù)論的應(yīng)用等。
另外，中國還有幾位基本上靠自學(xué)成才并能在解析數(shù)論方面作出貢獻的人，他們是董光昌、丁夏畦與潘承彪。
近70年來，中國經(jīng)歷了抗日戰(zhàn)爭與解放戰(zhàn)爭。建國后，歷次政治運動不斷，特別是“文化大革命”十年浩劫。但解析數(shù)論的研究不僅沒有間斷，而且不斷取得令人鼓舞的成績，這是十分難得的。
本文僅列舉幾條經(jīng)典解析數(shù)論方面最重要的成果如下。這些結(jié)果及其證明在國內(nèi)外該領(lǐng)域最重要的著作中均可以見到。
2、華氏定理
華氏定理（1949）命q為一個正整數(shù)， f(x)=akxk+...+a1x 為一個k次整系數(shù)多項式且最大公約
數(shù)（ak ，... ，a1 q)=1，則對于任何ε
>0皆有
此處e(z)=e2πiz與“0 ” 有關(guān)的常數(shù)為僅依賴于k與π的常數(shù)c(k,ε)
。 華氏定理溯源于高斯(C.F.Gauss)。他首先引進f(x)=ax2的特例情況，即所謂高斯和S(q，ax2)，(a，q)=1，
并得到估計S(q，ax2)=O(q 1/2)。 高斯引進并研究高斯和的目的在于給出初等數(shù)論中非常重要的二次互反律一個證明。以后，不少數(shù)學(xué)家企圖推廣高斯和及他的估計，但他們只能對特殊的多項式所對應(yīng)的，S(q，f(s) )，取得成功，這一歷史名題直到1940年，才由華羅庚解決。 華氏定理是臻于至善的，即誤差主階1-1/k已不能換成一個更小的數(shù)。這只是取f(x)=xk及q=pk(p為素數(shù))就可以知道。所以依•維諾格拉朵夫
（I. M. Vinogradov）稱贊華氏定理是驚人的。 華氏定理的直接應(yīng)用是，可以處理比希爾伯特（D.
Hilbert）一華林（G.Waring）定理更為廣泛的問題: 命N為一個正整數(shù) ， f1(x)(1<=i<=s)是首項系數(shù)為正的k次整值多項式， 考慮不定方程
N=f1(x1)+…+fs(xs) (1) 的求解問題，特別取f1(x) =…=fs(x)=xk， 即得 N=x1k+…+xsk (2) 1770年，華林提出猜想:當(dāng)s>=s0(k)時，(2) 有非零非負(fù)整數(shù)解。華林猜想是希爾伯特于1900年證明的。于是華林猜想就成了著名的希爾伯特一華林定理，但用希爾伯特方法所能得到的S0(k)將是很大的，20年代以后，哈代、李特伍德(J.E.
Littlewood)與依•維諾格拉朵夫用圓法及指數(shù)和估計法對S0(k)作了精致的定量估計。用華氏定理基本上可以將依•維諾格拉朵夫關(guān)于華林問題的重要結(jié)果推廣至不定方程（1），即假定（1）滿足必須滿足的條件，則當(dāng)s>=s0=O(klogk)及N充分大時，（1）有非零非負(fù)整解。當(dāng)s>=s’0=(k2logk)時，方程（1）的解數(shù)有一個漸近公式。
3、華氏不等式 華氏不等式(1938)命N為一個正整數(shù)， f(x)對為一個k次整系數(shù)多項式，T(a)=∑Nx=1， 則對于任
何ε>0及1<=j <=k 皆有
 華氏不等式的直接應(yīng)用為不定方程(1)，由圓法來處理方程(1)，則首先需將方程(1)的解數(shù)表示成(0，1)上的一個積分，然后將(0，1)，分成互不相交的優(yōu)孤與劣孤之并，優(yōu)孤上的積分給出(1)的解數(shù)的主項，需證明劣孤上的積分是一個低階項，從而可以忽略不計，這樣就得到了解數(shù)漸近公式。華羅庚證明了：假定fi(x)(1<=i<=s)為滿足必須滿足的條件的k次整值多項式。則當(dāng)s>=2k+1時，方程(1)的解數(shù)有一個漸近公式。特別對于華林問題，即方程(2)，當(dāng)s>=2k+1時，對充分大的N，(2)有非尋常非負(fù)解，且解數(shù)有漸近公式。當(dāng)k<=10時，這一結(jié)果是華林問題的最佳結(jié)果。直到半個世紀(jì)之后，基于對華氏不等式的某些改良，沃恩（R.F.
Vaughan）與希斯布朗(D.R.Heath-Brown)才能對華羅庚關(guān)于華林問題的結(jié)果作點改進，但他們所用的方法卻繁得多了。 基于華羅庚關(guān)于解析數(shù)論的基本方法，即關(guān)于指數(shù)和估計的華氏定理與華氏不等式，再加上依•
維諾格拉朵夫的韋爾（H.Weyl）和估計與關(guān)于素數(shù)變數(shù)的指數(shù)和估計，華羅庚系統(tǒng)地研究了不定方程(1)及其他堆壘問題的求解問題，并限制變數(shù)x1，x2，…x， 均取素數(shù)值。
華羅庚的結(jié)果總結(jié)在他的專著《堆壘素數(shù)論》中，這本書被譯成俄文、英文、德文、匈牙利文與日文。它是圓法、指數(shù)和估計及其應(yīng)用方面最重要的經(jīng)典著作之一。
4、陳氏定理 陳氏定理（1966）每一個充分大的偶數(shù)都是一個素數(shù)及一個不超過兩個素數(shù)的乘積之和。簡記為（1，2）。
誠如哈貝斯坦（H. Halberstam）與黎切爾特(H.E.Richert)所稱，陳氏定理為“ 驚人的定理” ，而且“
從篩法的任何方面來說，它都是光輝的頂點”。 陳氏定理與篩法相關(guān)，篩法導(dǎo)源于公元前250年的“ 埃拉朵斯染尼氏（Eratosthenes）篩法” ，1919 年，布倫(V.Brun)對這一方法作出了重大改進，并將它用于哥德巴赫猜想。1947年，賽爾貝格（A.Selberg）給出了埃拉朵斯染尼氏篩法的另一個重大改進。 哥德巴赫猜想是1742年哥德巴赫與歐拉（L.Euler）的通信中提出來的，可以表述為：每一個不小于4的偶數(shù)都是兩個素數(shù)之和
。簡記為（1，1）。 1900年，在希爾伯特的著名演講中，又將這一猜想列入他的23個數(shù)學(xué)問題中的第八問題。布倫首先證明了：每個充分大的偶數(shù)都是兩個素因子個數(shù)均不超過9的整數(shù)之和，簡記為（9，9），余類推，（1，1）即表示哥德巴赫猜想對充分大的偶數(shù)成立。布倫的方法與他的結(jié)果先后被拉代馬海爾（H.Rademacher），艾斯特曼(T. Estermann)，黎奇(G. Ricci)，布赫斯塔布(A.A. Buchstab)與孔恩(P.Kuhn)所改進。 將布倫、布赫斯塔布與賽爾貝格方法相結(jié)合，王元改進了布赫斯塔布的結(jié)果，他證明了
（3，4）（王元，1956）。 再與孔恩方法相結(jié)合，他又得到了當(dāng)時的最佳結(jié)果 （2，3）（王元，1957）。 處理哥德巴赫猜想的另一途徑是，將布倫篩法與林尼(Yu.V. Linnik)的大篩法相結(jié)合。首先是雷尼(A. Renyi)于1947年證明了，存在常數(shù)c使(l，c) 成立，潘承洞與巴爾巴恩(M.B.Barban)獨立地確定了c之值，潘承洞的結(jié)果如下：
（1，5）（潘承洞，1962）， （1，4）（潘承洞，1963）。 這是當(dāng)時的最佳結(jié)果，由于邦比里( E. Bombieri)與阿•維諾格拉朵夫(A.I.Vinogradov)對大篩法及算術(shù)級數(shù)素數(shù)分布的均值定理的重大貢獻，他們于1965年證明了(1，3)，在上述成就的基礎(chǔ)上，加上天才的創(chuàng)造，陳景潤于1966年證明了(1，2)，陳景潤的方法在國外稱為“轉(zhuǎn)換原理”。
5 、其他工作 在經(jīng)典解析數(shù)論的下列方面：依•
維諾格拉朵夫的韋爾和估計的改進與簡化；塔內(nèi)(Tarry)問題；高斯圓內(nèi)整點問題；狄里赫雷（P.C.L.Dirichlet）除數(shù)問題；黎曼（G.
F. B. Riemnan）ξ一函數(shù)在臨界線上的值估計；最小原根估計；最小皮爾（J.Pell）氏方程解的估計；算術(shù)級數(shù)中最小素數(shù)的估計；小區(qū)間中殆素數(shù)估計；小區(qū)間中哥德巴赫數(shù)的估計；有限制的三素數(shù)定理；無平方因子數(shù)的估計以及球內(nèi)整點問題與高維除數(shù)問題等，中國數(shù)學(xué)家都作出了引人注目的貢獻，在此就不詳細(xì)敘述了。
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