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這種縮小包圍圈的辦法很管用，于是從（9十9）開始，全世界的數(shù)學(xué)家集中力量“縮小包圍圈”，逐步減少每個數(shù)里所含質(zhì)數(shù)因子的個數(shù)，直到最后（1+1）為止。用這樣方法來證明“哥德巴赫猜想”確實取得了一系列重要的進展：
1920年，挪威數(shù)學(xué)家布朗（Brun）用古老的篩選法證明了（9＋9）；
1924年德國數(shù)學(xué)家拉德馬赫（Rademacher）證明了（7+7）；
1932年英國數(shù)學(xué)家埃斯特曼（Estermann）證明了（6＋6）；
1932年，意大利的蕾西（Ricei）先后證明了（5+7）,
（4+9）, （3+15）和（2+366）；
1938年，蘇聯(lián)數(shù)學(xué)家維諾格拉朵夫證明了充分大的奇數(shù)可以表示為3個奇質(zhì)數(shù)之和，這使歐拉設(shè)想中的奇數(shù)部分有了結(jié)論，剩下的只有偶數(shù)部分的命題了。
1938年，蘇聯(lián)數(shù)學(xué)家布赫斯塔勃證明了（５＋５），２年后又證明了（４＋４）。
1938年，我國數(shù)學(xué)家華羅庚證明了所有偶數(shù)都可以表示為一個質(zhì)數(shù)和另一個質(zhì)數(shù)的方冪之和；
1940年他又證明了（4＋4）；
1956年，蘇聯(lián)數(shù)學(xué)家維諾格拉朵夫證明了（5+5），（4+4），（3+3）；
1956年，我國數(shù)學(xué)家王元證明了“3+4”；
1957年，我國數(shù)學(xué)家王元證明了“3+3”和“2+3”；
而在1948年，匈牙利數(shù)學(xué)家蘭恩易(Renyi)另外設(shè)置了一個包圍圈。他開辟了另一條途徑。他想要證明：每個大偶數(shù)都是一個素數(shù)和一個“素因子都不超過六個的”數(shù)之和。他果然證明了（1＋6）。
但是，以后又是十年沒有進展。
1962年，我國數(shù)學(xué)家潘承洞與蘇聯(lián)數(shù)學(xué)家巴爾巴恩(BapoaH)各自獨立證明了（1＋5）；
1963年，又前進了一步，潘承洞與王元合作證明，蘇聯(lián)數(shù)學(xué)家巴爾巴恩獨立證明了（1＋4）。
1965年，布赫斯塔勃、維諾格拉多夫和數(shù)學(xué)家龐皮艾黎邦別里等三人差不多同時都證明了（1＋3）。
“包圍圈”越來越小，越來越接近終極目標（１＋１）。
維諾格拉多夫(1937年)，無條件地證明了奇數(shù)哥德巴赫猜想，即每個充分大的奇數(shù)都是三個奇素數(shù)之和。
布朗(挪威1919年)證明了:每個大偶數(shù)都是兩個素因子個數(shù)均不超過9的整數(shù)之和(記為9 + 9，記號k + l表示大偶數(shù)分解為不超過k個奇素數(shù)的積與不超過l個奇素數(shù)的積之和
，下同)
布赫夕塔布的4 + 4(1940)，瑞尼的l+c (c為一不確定大數(shù))(1948)和庫恩的a+b (a+b≤6)(1954);
1966年我國數(shù)學(xué)家陳景潤在對篩選法進行了重要改進之后，終于證明了（1+2）。也就是：“任何一個充分大的偶數(shù)，都可以表示成兩個數(shù)之和，而這兩個數(shù)中的一個就是奇質(zhì)數(shù)，另一個則是兩個奇質(zhì)數(shù)的乘積�！�
1966年5月陳景潤在中國科學(xué)院的刊物《科學(xué)通報》第十七期上他對外正式宣布已經(jīng)證明了（1＋2）。他的證明震驚中外，被譽為“推動了群山，”并被這個定理被世界數(shù)學(xué)界稱為“陳氏定理”。
(1973年發(fā)表詳細證明)
20世紀的數(shù)學(xué)家們研究哥德巴赫猜想所采用的主要方法，是圓法、篩法、密率法和指數(shù)和三角和法等高深的數(shù)學(xué)方法。
許多數(shù)學(xué)家，包括曾經(jīng)做出過重要貢獻的數(shù)學(xué)家認為，要想證明（1＋1），必須通過創(chuàng)造新的數(shù)學(xué)方法，以往的路都是走不通的。
由于陳景潤的貢獻，人類距離哥德巴赫猜想的最后結(jié)果（1＋1）僅有一步之遙了。而這一步卻無比艱難。30多年過去了，哥德巴赫猜想的
證明仍未有重要的突破。
目前利用計算機能證明到10的14次方為止哥德巴赫猜想是成立的，而嚴格的數(shù)學(xué)論證則要求其對所有的數(shù)都有效。
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