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1742年哥德巴赫發(fā)現(xiàn)這樣一個(gè)事實(shí)：6＝3＋3，12＝5＋7，18＝11＋7，……等，于是他在1742年6月7日寫信給當(dāng)時(shí)住在俄國彼得堡的大數(shù)學(xué)家歐拉。哥德巴赫在信中說：”我的問題是這樣的：隨便取某一個(gè)奇數(shù)，比如77，可以把它寫成三個(gè)素?cái)?shù)之和：77=53+17+7；再任取一個(gè)奇數(shù)，比如461，461=449+7+5，也是三個(gè)素?cái)?shù)之和，461還可以寫成257+199+5，仍然是三個(gè)素?cái)?shù)之和。我發(fā)現(xiàn)：這樣任何大于5的奇數(shù)都是三個(gè)素?cái)?shù)之和。但這怎樣證明呢？雖然做過的每一次試驗(yàn)都得到了上述結(jié)果，但是不可能把所有的奇數(shù)都拿來檢驗(yàn)，需要的是一般的證明，而不是個(gè)別的檢驗(yàn)�！�
這就是著名的哥德巴赫猜想（見本文后的復(fù)印件）。
當(dāng)哥德巴赫把這個(gè)問題告訴給歐拉，并請(qǐng)歐拉告訴他應(yīng)當(dāng)怎樣作出證明。 歐拉看過信之后，認(rèn)真地思考了這個(gè)問題。他首先逐個(gè)核對(duì)了一張長長的數(shù)字表：
6=2+2+2=3+3
8=2+3+3=3+5
9=3+3+3=2+7
10=2+3+5=5+5
11=5+3+3 |
12=5+5+2=5+7
99=89+7+3
100=11+17+71=97+3
101=97+2+2
102=97+2+3=97+5 ……
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這張表可以無限延長，而每一次延長都使歐拉對(duì)肯定哥德巴赫的猜想增加了信心。同時(shí)他發(fā)現(xiàn)證明這個(gè)問題實(shí)際上應(yīng)該分成兩部分，即證明所有大于2的偶數(shù)總能寫成2個(gè)質(zhì)數(shù)之和，所有大于7的奇數(shù)總能寫成3個(gè)質(zhì)數(shù)之和：
(a) 任何一個(gè)大于2的偶數(shù)，都可以表示成兩個(gè)素?cái)?shù)之和；
(b) 任何一個(gè)大于7的奇數(shù)，都可以表示成三個(gè)素?cái)?shù)之和。
歐拉確信這一結(jié)論是對(duì)的。在6月30日給哥德巴赫回信，他在信中說：“任何大于2的偶數(shù)都是兩個(gè)質(zhì)數(shù)的和，雖然我還不能證明它，但我確信無疑這是完全正確的�！蓖瑫r(shí)歐拉又提出了另一個(gè)命題：“任何一個(gè)大于2的偶數(shù)都是兩個(gè)素?cái)?shù)之和”。但是這個(gè)命題他也沒能給予證明。不難看出，哥德巴赫的命題是歐拉命題的推論。事實(shí)上，任何一個(gè)大于5的奇數(shù)都可以寫成如下形式：2N+1=3+2(N-1)，其中2(N-1)≥4
。
若歐拉的命題成立，則偶數(shù)2(N-1)可以寫成兩個(gè)素?cái)?shù)之和，于是奇數(shù)2N+1可以寫成三個(gè)素?cái)?shù)之和，從而，對(duì)于大于5的奇數(shù)，哥德巴赫的猜想成立。但是哥德巴赫的命題成立并不能保證歐拉命題的成立。因而歐拉的命題比哥德巴赫的命題要求更高。現(xiàn)在通常把這兩個(gè)命題統(tǒng)稱為哥德巴赫猜想。
實(shí)際上第一個(gè)問題的正確解法可以推出第二個(gè)問題的正確解法，因?yàn)槊總�(gè)大于7的奇數(shù)顯然可以表示為一個(gè)大于4的偶數(shù)與3的和。1937年，蘇聯(lián)數(shù)學(xué)家維諾格拉多夫利用他獨(dú)創(chuàng)的“三角和”方法證明了每個(gè)充分大的奇數(shù)可以表示為3個(gè)奇質(zhì)數(shù)之和，基本上解決了第二個(gè)問題。但是第一個(gè)問題至今仍未解決。由于問題實(shí)在太困難了，數(shù)學(xué)家們開始研究較弱的命題：每個(gè)充分大的偶數(shù)可以表示為質(zhì)因數(shù)個(gè)數(shù)分別為m、n的兩個(gè)自然數(shù)之和，簡記為“m+n”。
歐拉從接到信后，就開始著手考慮如何證明，但是他用盡了各種辦法嘗試，直到離開人世，也沒有證明出來。之后，哥德巴赫帶著一生的遺憾也離開了人世，給后人留下了這道數(shù)學(xué)難題。
由于歐拉是頗負(fù)盛名的數(shù)學(xué)家、科學(xué)家，他對(duì)猜想的判斷與信心吸引著無數(shù)科學(xué)家試圖去證明它，但直到19世紀(jì)末也沒有取得任何進(jìn)展。這一看似簡單，但實(shí)際是困難無比的數(shù)論問題長期困擾著數(shù)學(xué)家，因此有人把它比作“數(shù)學(xué)皇冠上的一顆明珠�！�
敘述如此簡單的問題，連歐拉這樣首屈一指的數(shù)學(xué)家都不能證明，這個(gè)猜想便引起了許多數(shù)學(xué)家的注意。從哥德巴赫提出這個(gè)猜想至今，許多數(shù)學(xué)家都不斷努力想攻克它，但都沒有成功。
哥德巴赫猜想世界近代三大數(shù)學(xué)難題之一�！�
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