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我國古代許多著名的數(shù)學(xué)著作中都關(guān)于數(shù)論內(nèi)容的論述，比如求最大公約數(shù)、勾股數(shù)組、某些不定方程整數(shù)解的問題等等。
在整數(shù)性質(zhì)的研究中，人們發(fā)現(xiàn)質(zhì)數(shù)是構(gòu)成正整數(shù)的基本 “材料”，要深入研究整數(shù)的性質(zhì)就必須研究質(zhì)數(shù)的性質(zhì)。因此關(guān)于質(zhì)數(shù)性質(zhì)的有關(guān)問題，一直受到數(shù)學(xué)家的關(guān)注。到了十八世紀(jì)末，歷代數(shù)學(xué)家積累的關(guān)于整數(shù)性質(zhì)零散的知識已經(jīng)十分豐富了，把它們整理加工成為一門系統(tǒng)的學(xué)科的條件已經(jīng)完全成熟了。
德國數(shù)學(xué)家高斯集中前人的大成，寫了一本書叫做《算術(shù)探討》，1800年寄給了法國科學(xué)院，但是法國科學(xué)院拒絕了高斯的這部杰作，高斯只好在1801年自己發(fā)表了這部著作。這部書開始了現(xiàn)代數(shù)論的新紀(jì)元。在《算術(shù)探討》中，高斯把過去研究整數(shù)性質(zhì)所用的符號標(biāo)準(zhǔn)化了，把當(dāng)時現(xiàn)存的定理系統(tǒng)化并進(jìn)行了推廣，把要研究的問題和意志的方法進(jìn)行了分類，還引進(jìn)了新的方法。
數(shù)論研究的主要內(nèi)容
數(shù)論是一門高度抽象的數(shù)學(xué)學(xué)科，長期以來，它的發(fā)展處于純理論的研究狀態(tài)，它對數(shù)學(xué)理論的發(fā)展起到了積極的作用。但對于大多數(shù)人來講并不清楚它的實際意義。
數(shù)論形成了一門獨立的學(xué)科后，隨著數(shù)學(xué)其他分支的發(fā)展，研究數(shù)論的方法也在不斷發(fā)展。如果按照研究方法來說，可以分成初等數(shù)論、解析數(shù)論、代數(shù)數(shù)論和幾何數(shù)論四個部分。
初等數(shù)論是數(shù)論中不求助于其他數(shù)學(xué)學(xué)科的幫助，只依靠初等的方法來研究整數(shù)性質(zhì)的分支。比如中國古代有名的“中國剩余定理”，就是初等數(shù)論中很重要的內(nèi)容。
解析數(shù)論是使用數(shù)學(xué)分析作為工具來解決數(shù)論問題的分支。數(shù)學(xué)分析是以函數(shù)作為研究對象的、在極限概念的基礎(chǔ)上建立起來的數(shù)學(xué)學(xué)科。用數(shù)學(xué)分析來解決數(shù)論問題是由歐拉奠基的，俄國數(shù)學(xué)家車比雪夫等也對它的發(fā)展做出過貢獻(xiàn)。解析數(shù)論是解決數(shù)論中艱深問題的強有力的工具。比如，對于
“ 質(zhì)數(shù)有無限多個 ”
這個命題，歐拉給出了解析方法的證明，其中利用了數(shù)學(xué)分析中有關(guān)無窮級數(shù)的若干知識。二十世紀(jì)三十年代，蘇聯(lián)數(shù)學(xué)家維諾格拉多夫創(chuàng)造性的提出了
“ 三角和方法 ” ，這個方法對于解決某些數(shù)論難題有著重要的作用。我國數(shù)學(xué)家陳景潤在解決 “ 哥德巴赫猜想 ”
問題中也使用的是解析數(shù)論的方法。代數(shù)數(shù)論是把整數(shù)的概念推廣到代數(shù)整數(shù)的一個分支。數(shù)學(xué)家把整數(shù)概念推廣到一般代數(shù)數(shù)域上去，相應(yīng)地也建立了素整數(shù)、可除性等概念。
幾何數(shù)論是由德國數(shù)學(xué)家、物理學(xué)家閔可夫斯基等人開創(chuàng)和奠基的。幾何數(shù)論研究的基本對象
是“空間格網(wǎng)”。什么是空間格網(wǎng)呢？在給定的直角坐標(biāo)系上，坐標(biāo)全是整數(shù)的點，叫做整點；全部整點構(gòu)成的組就叫做空間格網(wǎng)�？臻g格網(wǎng)對幾何學(xué)和結(jié)晶學(xué)有著重大的意義。由于幾何數(shù)論涉及的問題比較復(fù)雜，必須具有相當(dāng)?shù)臄?shù)學(xué)基礎(chǔ)才能深入研究。
由于近代計算機(jī)科學(xué)和應(yīng)用數(shù)學(xué)的發(fā)展，數(shù)論得到了廣泛的應(yīng)用。比如在計算方法、代數(shù)編碼、組合論等方面都廣泛使用了初等數(shù)論范圍內(nèi)的許多研究成果；又文獻(xiàn)報道，現(xiàn)在有些國家應(yīng)用
“ 孫子定理 ”
來進(jìn)行測距，用原根和指數(shù)來計算離散傅立葉變換等。此外，數(shù)論的許多比較深刻的研究成果也在近似分析、差集合、快速變換等方面得到了應(yīng)用。特別是現(xiàn)在由于計算機(jī)的發(fā)展，用離散量的計算去逼近連續(xù)量而達(dá)到所要求的精度已成為可能。
數(shù)論在數(shù)學(xué)中的地位是獨特的，高斯曾經(jīng)說過 “數(shù)學(xué)是科學(xué)的皇后，數(shù)論是數(shù)學(xué)中的皇冠”。
在我國近代，數(shù)論也是發(fā)展最早的數(shù)學(xué)分支之一。從二十世紀(jì)三十年代開始，在解析數(shù)論、丟番圖方程、一致分布等方面都有過重要的貢獻(xiàn)，出現(xiàn)了華羅庚、閔嗣鶴、柯召等第一流的數(shù)論專家。其中華羅庚教授在三角和估值、堆
壘素數(shù)論方面的研究是享有盛名的。在新中國建立之后，有關(guān)數(shù)論的研究得到了很快的發(fā)展。特別是在“篩法”和“歌德巴赫猜想”方面的研究，取得了世界領(lǐng)先的優(yōu)秀成績。特別是陳景潤在 1966 年證明 “
哥德巴赫猜想 ” 的 “ 一個大偶數(shù)可以表示為一個素數(shù)和一個不超過兩個素數(shù)的乘積之和 ”
以后，在國際數(shù)學(xué)引起了強烈的反響，稱贊陳景潤的論文是篩法的光輝頂點。至今，這仍是 “ 哥德巴赫猜想 ” 的最好結(jié)果。
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