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石鐘慈的計(jì)算數(shù)學(xué)人生

石鐘慈1933年12月出生于浙江鄞縣。1951年他從家鄉(xiāng)寧波考入了位于杭州的浙江大學(xué)數(shù)學(xué)系。其實(shí)他同時(shí)對其他學(xué)科,像文學(xué)藝術(shù)以及歷史等也很感興趣,他的第二志愿是中央音樂學(xué)院的音樂系。

要把浙大數(shù)學(xué)系讀下來可不是一件容易的事,那時(shí)數(shù)學(xué)界素有“南浙大、北清華”之說,浙大的數(shù)學(xué)系有陳建功、蘇步青、徐瑞云等一批名師。一年級時(shí)徐先生教微積分。她要求學(xué)生們無論如何要把微積分學(xué)好,規(guī)定70分才算及格。

1952年秋天,全國院校調(diào)整,石鐘慈轉(zhuǎn)入復(fù)旦數(shù)學(xué)系大學(xué)讀二年級。這里結(jié)集了華東地區(qū)最好的數(shù)學(xué)師資力量,比如從同濟(jì)大學(xué)調(diào)來的楊武之老先生曾給他們講過一年的高等代數(shù)。

1955年石鐘慈在陳建功先生指導(dǎo)下完成了單葉函數(shù)論的大學(xué)畢業(yè)論文,這是一篇相當(dāng)出色的論文。為此,當(dāng)年的解放日報(bào)還發(fā)表了新華社文章,稱贊他論文的創(chuàng)新性,這在1949年解放后的大學(xué)生中還是不多見的,后來該論文在《數(shù)學(xué)進(jìn)展》上發(fā)表。

 

大學(xué)畢業(yè)后,石鐘慈被分配到中國科學(xué)院數(shù)學(xué)所工作。只是他不能再繼續(xù)他的函數(shù)論研究了,而要進(jìn)入當(dāng)時(shí)誰都不知曉的專業(yè)——計(jì)算數(shù)學(xué)。

此時(shí),計(jì)算數(shù)學(xué)在中國還是零,不僅石鐘慈不知道,連主持總體學(xué)術(shù)工作的華羅庚心中也沒底,他們只知道計(jì)算數(shù)學(xué)是作為計(jì)算技術(shù)的組成部分列入了國家規(guī)劃。他接受了這個(gè)重任,成為華先生手下最早搞計(jì)算數(shù)學(xué)的人之一,從此開始了他的計(jì)算數(shù)學(xué)人生。當(dāng)時(shí)沒有人真正懂得這門學(xué)科,華先生領(lǐng)導(dǎo)著這一批年輕人一起摸索、探討。

1956年,石鐘慈被派往蘇聯(lián)學(xué)習(xí)計(jì)算數(shù)學(xué)。當(dāng)時(shí)蘇聯(lián)的計(jì)算數(shù)學(xué)和美國可以媲美。在蘇聯(lián)科學(xué)院數(shù)學(xué)研究所學(xué)習(xí)四年之后,石鐘慈認(rèn)為這時(shí)候才算對計(jì)算數(shù)學(xué)有了認(rèn)識。正是這段經(jīng)歷讓他有幸認(rèn)識了索伯列夫、蓋爾芳德等世界著名的數(shù)學(xué)家,同時(shí)也幸運(yùn)地“躲”過當(dāng)時(shí)國內(nèi)的反右運(yùn)動(dòng)。計(jì)算數(shù)學(xué)需要數(shù)學(xué)模型、算法,最后是計(jì)算機(jī)實(shí)現(xiàn),而直到1958年,中國真正有了自主研制開發(fā)的計(jì)算機(jī)。1960年石鐘慈回國,并從事計(jì)算機(jī)數(shù)學(xué)的研究及教學(xué)工作。

1960至1966年在中國科技大學(xué)任教期間,石鐘慈被分至計(jì)算方法研究室32組,專攻水壩設(shè)計(jì)。當(dāng)時(shí)的負(fù)責(zé)人是馮康先生。石鐘慈說,如果說是華羅庚先生為他指明了計(jì)算數(shù)學(xué)這條未來的研究道路,那么馮康先生就在具體實(shí)踐的層面上教會了自己如何搞計(jì)算數(shù)學(xué)

起點(diǎn):華羅庚先生引路

石先生說,上大學(xué)后才知道,他們那時(shí)考大學(xué)其實(shí)很容易,尤其是數(shù)學(xué)系,很少有人報(bào)考,用現(xiàn)在的話說門檻不高,不過把浙大數(shù)學(xué)系讀下來可不容易。那時(shí)數(shù)學(xué)有“南浙大、北清華”之說,浙大的數(shù)學(xué)系有陳建功、蘇步青、徐瑞云等元老名師。一年級時(shí)徐先生教微積分。她要求學(xué)生們無論如何要把微積分學(xué)好,規(guī)定70分才算及格。的確,大家都很努力,打下了堅(jiān)實(shí)、牢固的基礎(chǔ)。1952年秋天,隨著全國院校調(diào)整,石先生來到復(fù)旦大學(xué)讀二年級。這里結(jié)集了華東地區(qū)最好的數(shù)學(xué)師資力量,比如從同濟(jì)大學(xué)調(diào)來的楊振寧先生的父親楊武之老先生還給他們講過一年的高等代數(shù)。1955年,石先生在陳建功先生指導(dǎo)下完成了單葉函數(shù)論的大學(xué)畢業(yè)論文,這是一篇相當(dāng)出色的論文。為此,當(dāng)年的解放日報(bào)還發(fā)表了新華社文章,稱贊石先生論文的創(chuàng)新性,這在1949年解放后的大學(xué)生中還是不多見的,后來該論文在《數(shù)學(xué)進(jìn)展》上發(fā)表。大學(xué)畢業(yè)后,石先生非常高興,被分配到中國科學(xué)院數(shù)學(xué)所工作。這可是中國許多杰出數(shù)學(xué)家如華羅庚、吳文俊、關(guān)肇直等名師的集中地啊。到這里后,他才知道不能再繼續(xù)他的函數(shù)論研究了,而要進(jìn)入當(dāng)時(shí)誰都不知曉的專業(yè)——計(jì)算數(shù)學(xué)。

事情是這樣的:到了1955年,新中國已從整頓進(jìn)入到發(fā)展階段。周恩來總理親自主持、制定我國《十二年科學(xué)技術(shù)發(fā)展規(guī)劃》,選定了計(jì)算技術(shù)、電子學(xué)、半導(dǎo)體、自動(dòng)化等作為“發(fā)展規(guī)劃”的四項(xiàng)緊急措施,其中,計(jì)算技術(shù)包含了計(jì)算機(jī)、程序設(shè)計(jì)和計(jì)算數(shù)學(xué)。

委任當(dāng)時(shí)的中國科學(xué)院數(shù)學(xué)所所長華羅庚先生兼管計(jì)算機(jī)和計(jì)算數(shù)學(xué)的發(fā)展,早有謀篇布局的華先生找到石鐘慈說:“你要轉(zhuǎn)行,去搞計(jì)算數(shù)學(xué)。”他很驚訝,計(jì)算數(shù)學(xué)是什么?此時(shí),計(jì)算數(shù)學(xué)在中國還是零,不僅石鐘慈不知道,連華先生心中也沒底,他們只知道計(jì)算數(shù)學(xué)是作為計(jì)算技術(shù)的組成部分列入了國家規(guī)劃。雖然石先生當(dāng)時(shí)心中并非十分情愿轉(zhuǎn)行,但在華先生強(qiáng)調(diào)了學(xué)科的重要性,特別了解了它對國防和國計(jì)民生的重大意義后,他接受了這個(gè)重任,成為華先生手下最早搞計(jì)算數(shù)學(xué)的人之一,從此開始了他的計(jì)算數(shù)學(xué)人生。

當(dāng)時(shí)沒有人真正懂得這門學(xué)科,華先生領(lǐng)導(dǎo)著這一批年輕人一起摸索、探討,差不多有大半年時(shí)間,這就是中國計(jì)算數(shù)學(xué)的開始,就這個(gè)意義上講,華先生是中國計(jì)算數(shù)學(xué)早期的主要帶頭人。在華先生的鼓勵(lì)與指導(dǎo)下,石鐘慈最終留在計(jì)算數(shù)學(xué)這個(gè)領(lǐng)域里。

同時(shí)在華先生潛移默化的熏陶中,在數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)和研究方法上也讓他受益匪淺。王元先生是石先生的師兄,石先生入浙江大學(xué)時(shí),王先生讀大四,兩人接觸很多。后來,又同在中科院數(shù)學(xué)所。

石先生戲稱,借用武俠小說說法,王元先生是華派的“掌門、嫡系”。自己雖然不是華先生的“嫡系”,但“可以算華先生的半個(gè)弟子吧”,這說法得到了王元先生的首肯。

 1956年,石先生被派往蘇聯(lián)學(xué)習(xí)計(jì)算數(shù)學(xué),當(dāng)然派遣留學(xué)生也是十二年科學(xué)規(guī)劃的內(nèi)容之一。當(dāng)時(shí)蘇聯(lián)的計(jì)算數(shù)學(xué)非常好,和美國可以媲美。在蘇聯(lián)科學(xué)院數(shù)學(xué)研究所學(xué)習(xí)四年之后,石先生認(rèn)為這時(shí)候才算對計(jì)算數(shù)學(xué)有了認(rèn)識。正是這段經(jīng)歷讓他有幸認(rèn)識了索伯列夫、蓋爾芳德等世界著名的數(shù)學(xué)家,也正是從這時(shí)開始,他才安心地進(jìn)入了計(jì)算數(shù)學(xué)這個(gè)領(lǐng)域,同時(shí)也幸運(yùn)地“躲”過當(dāng)時(shí)國內(nèi)的反右運(yùn)動(dòng)。不過,在蘇聯(lián)白天勤奮地學(xué)習(xí)和上機(jī),晚上開會,學(xué)習(xí)有關(guān)反右的文件,留學(xué)生們倍感緊張和疲勞。他們中有些學(xué)會了吸煙,石鐘慈則學(xué)會了喝咖啡。作為最早一批赴蘇學(xué)習(xí)計(jì)算數(shù)學(xué)的人之一,1960年他回到祖國。

如果說華先生當(dāng)年做的是發(fā)現(xiàn)人才、激勵(lì)士氣的工作,顯示了一個(gè)數(shù)學(xué)家的高瞻遠(yuǎn)矚,那么馮康、石鐘慈以及當(dāng)年那一批年輕的科學(xué)工作者便是為中國的計(jì)算數(shù)學(xué)開疆辟土。

對于石先生他們這樣一批進(jìn)入計(jì)算數(shù)學(xué)的人來說,這一全新領(lǐng)域既是挑戰(zhàn)又是機(jī)遇。有一段馮康先生的姐姐馮瑞寫到馮康先生的話,完全適用這個(gè)群體:“這是一門全新的交叉科學(xué),完全向能力開放,沒有任何礙事的權(quán)威,像一張白紙,可以不受任何限制地畫出最新最美的圖畫。顯然開拓新的領(lǐng)域,既需要過硬的工作能力,又需要具有高度的識別能力!

路徑:馮康先生、中國科大與教書

一個(gè)學(xué)科半個(gè)世紀(jì)的路程,不算長也不算短。今年已經(jīng)74歲的石鐘慈先生,想當(dāng)年是青春作伴風(fēng)華正茂,回首往事,“只能說我是中國計(jì)算數(shù)學(xué)發(fā)展的見證者,而馮康先生才是真正的中國計(jì)算數(shù)學(xué)的奠基者,”石先生謙虛地說。說起馮康先生,這是另一個(gè)令人感慨意味深長的故事,我們只能擷取與石先生相關(guān)聯(lián)的部分。馮康先生是我國著名數(shù)學(xué)家、計(jì)算數(shù)學(xué)家,中國科學(xué)院院士,于1993年去世。1953年到蘇聯(lián)進(jìn)修,他的導(dǎo)師是世界知名的數(shù)學(xué)家龐特里亞金。留蘇回來后,到華羅庚先生負(fù)責(zé)的中國科學(xué)院數(shù)學(xué)所做廣義函數(shù)論研究。到1958年,馮康先生已經(jīng)是一個(gè)成熟的數(shù)學(xué)家了。

1955年石鐘慈大學(xué)畢業(yè)與馮康先生已有結(jié)識之緣,“他是非常聰明的人,并且興趣廣泛,”石先生由衷地評價(jià)。

1958年,中國科學(xué)院計(jì)算所正式成立,華羅庚先生為了計(jì)算技術(shù)的發(fā)展,推薦三個(gè)人從數(shù)學(xué)所到計(jì)算所,其中第一個(gè)就是馮康先生。不到6年時(shí)間,馮康先生就于1964年發(fā)表了著名的論文《基于變分原理的差分格式》,這是中國有限元方法的奠基性文獻(xiàn),也是世界有限元方法的開創(chuàng)性文獻(xiàn),這是后話。

在這期間的1960年,石先生從蘇聯(lián)學(xué)習(xí)回來,就到了馮先生的手下做研究。可以想象,跟著馮先生這樣眼高手亦高的大師,培養(yǎng)出的是對科研的共同品味與追求。石先生與馮先生的師生情誼一直持續(xù)到最后。還有一段佳話:今年是中國科技大學(xué)建校50周年,這里留下了石先生一段足跡。中國科大是中國科學(xué)院所辦的唯一一所大學(xué),成立于1958年,方針是“全院辦校,所系結(jié)合”。

華先生任數(shù)學(xué)系主任,馮先生任計(jì)算數(shù)學(xué)教研室主任,年輕的石鐘慈也開始去科大兼課。

1961年,科大四年級的學(xué)生開始了專業(yè)課程,他們在學(xué)校里上計(jì)算數(shù)學(xué)的專業(yè)課,到中科院計(jì)算所里上機(jī)。作為國家重點(diǎn)發(fā)展學(xué)科,科大每年要招收計(jì)算數(shù)學(xué)專業(yè)學(xué)生。1964年,隨著學(xué)生數(shù)量和班級增多,科大與馮康先生商量,希望石先生正式調(diào)入科大任教,負(fù)責(zé)這個(gè)新興專業(yè)的建設(shè)。從此開始了他的教學(xué)生涯,從最初的編寫教材,講課,上機(jī)和帶大學(xué)生的畢業(yè)論文,到后來的指導(dǎo)碩士生、博士生。

歸國后,石鐘慈就到著名數(shù)學(xué)家馮康手下做研究。1964年,石鐘慈正式調(diào)入科大任教,負(fù)責(zé)這個(gè)新興專業(yè)的建設(shè)。從此開始了他的教學(xué)生涯,從最初的編寫教材,講課,上機(jī)和帶大學(xué)生的畢業(yè)論文,到后來的指導(dǎo)碩士生、博士生。后在馮康先生的支持下,石鐘慈又調(diào)回原工作單位。

從文化大革命中隨著學(xué)校由北京搬遷到合肥,一直到接替華羅庚先生任科大數(shù)學(xué)系第二任系主任,石先生在學(xué)校里渡過了25個(gè)春秋。1985年,馮先生已經(jīng)65歲了,擔(dān)任中國科學(xué)院計(jì)算中心主任也已有8年時(shí)間,他要找一個(gè)接自己班的人。

在眾多人中,他看好石先生,然而調(diào)回來談何容易?1986年10月,馮先生通過中科院干部局才把石先生調(diào)回到自己身邊,成為馮先生的接班人,用馮先生的話說:“是我把他調(diào)去的,所以,在我退休之前,要把他調(diào)回來,都是為了計(jì)算數(shù)學(xué)!

回到中國科學(xué)院計(jì)算中心之后,正遇上改革開放大好時(shí)光,各項(xiàng)事業(yè)欣欣向榮。他們共同努力于1990年成立了由計(jì)委直接撥款的“中國科學(xué)院科學(xué)與工程計(jì)算國家重點(diǎn)實(shí)驗(yàn)室”。國家實(shí)驗(yàn)室還是屈指可數(shù),石先生擔(dān)任室主任,這對中國計(jì)算數(shù)學(xué)發(fā)展是非常重要的一步。隨后,1991年和1996年連續(xù)兩期獲得國家“大規(guī)?茖W(xué)與工程計(jì)算的方法和理論”的攀登計(jì)劃項(xiàng)目的資助,馮先生與石先生分別擔(dān)任一期和二期的首席科學(xué)家。這個(gè)項(xiàng)目立了以后,“計(jì)算數(shù)學(xué)在國內(nèi)站住腳了,因?yàn)榈玫絿业闹С趾椭匾,”石先生說。這固然有這個(gè)學(xué)科在國際上普遍受到重視的大背景,同時(shí),也是馮康先生等科學(xué)前輩孜孜以求所得到的發(fā)展機(jī)遇。后來,攀登計(jì)劃項(xiàng)目演變成為“973項(xiàng)目”,中科院計(jì)算數(shù)學(xué)所相繼獲得了兩期“973項(xiàng)目”的支持,一大批中青年研究人員正在從事這個(gè)學(xué)科的研究,石先生培養(yǎng)的很多學(xué)生在這個(gè)領(lǐng)域中做出了許多國際一流的工作,“就整個(gè)計(jì)算數(shù)學(xué)而言,中國在國際上是居于前列的”。

話分兩頭,石先生之所以被調(diào)去科大,科大又之所以后來不愿意放行,是因?yàn)槭壬v課很好,非常受學(xué)生歡迎,且不說多次被評為優(yōu)秀教師,原科大校長朱清時(shí)曾在回憶文章中,稱贊石先生上的課!拔沂呛芟矚g講課的,受華先生影響,也受蘇聯(lián)那些導(dǎo)師的影響。”石先生認(rèn)為,“研究人員一定要上課,一定要帶學(xué)生,這樣使研究人員的思想更活躍。完全不上課、沒有學(xué)生的研究院所的體系是有缺陷的,不利于研究!笔壬榻B,雖說中國早期的科研模式是學(xué)習(xí)蘇聯(lián)的,但是蘇聯(lián)科學(xué)院的科學(xué)家們都上課的。他在蘇聯(lián)學(xué)習(xí)時(shí),蘇聯(lián)科學(xué)院數(shù)學(xué)研究所的柯爾莫戈洛夫、龐特里亞金、彼得洛夫斯基、蓋爾范德等都是院士,這些人中幾乎所有的既在蘇聯(lián)科學(xué)院研究所工作,同時(shí)又在莫斯科大學(xué)或其他學(xué)校任課,這給石先生留下深刻印象。

難忘:一生中最后的轉(zhuǎn)折點(diǎn)

1981年,已經(jīng)48歲的石先生,決定去國外深造。無論是從年齡上說,還是從十年文革、研究荒廢的背景上說,這都需要十足的勇氣。后來,石先生稱此舉是:一生中最后的轉(zhuǎn)折。1978年改革開放以后,中國科技工作者有了去國外進(jìn)修的機(jī)會,對于石先生來說比較想往的是去德國。

由華羅庚先生、馮康先生和吳文俊先生的推薦,他申請到了德國的洪堡基金,從師于法蘭克福大學(xué)施圖默教授,在那里他開展了非協(xié)調(diào)有限元的研究。 施圖默在德國培養(yǎng)了好幾個(gè)十分出色的學(xué)生,現(xiàn)在德國兩個(gè)國際一流的應(yīng)用和計(jì)算數(shù)學(xué)家弗萊澤和拉納格都是他的學(xué)生。

 

石先生曾經(jīng)談起那段經(jīng)歷:“當(dāng)時(shí)已年近50歲,比其他同學(xué)大10歲,剛?cè)サ臅r(shí)候,一點(diǎn)把握也沒有,非常緊張,因?yàn)橥耆切碌臇|西,基礎(chǔ)不夠,還要從頭學(xué)習(xí)一門德語,心理上、生理上承受著巨大壓力。然而,德國人一絲不茍、誠實(shí)守信的民族品格,以及他們在科學(xué)、哲學(xué)、法律、音樂、文化和藝術(shù)領(lǐng)域的先進(jìn)水平給予我極大感動(dòng),正所謂置之死地而后生。憑借青年時(shí)代在浙大、復(fù)旦和蘇聯(lián)留學(xué)期間打下的堅(jiān)實(shí)基礎(chǔ),加之深受德國精神的影響,通過大半年的拼死一搏,終于贏得了施圖默的信任!

后來施圖默還給馮康先生寫信,稱石鐘慈是非常突出的優(yōu)秀科學(xué)家,應(yīng)多給他機(jī)會,專門做研究,在非協(xié)調(diào)有限元這一領(lǐng)域,施圖默認(rèn)為石先生是他最主要的繼承者。

在德國的這兩年多時(shí)間成為石先生科研工作重要的歷程,“后來計(jì)算數(shù)學(xué)的工作都是從這里開始的,沒有這次出去,我的科研工作就會停留在80年代初那個(gè)時(shí)期的水平”。如果說青年時(shí)期的石先生還是憑借著天賦和興趣從事數(shù)學(xué)研究,那么,他最后的這一次轉(zhuǎn)折就是生動(dòng)的奮斗的版本。

摘自《楊虛杰 中華讀書報(bào)》

石鐘慈主要成果有,他在20世紀(jì)50年代末,建立了一種將變分原理和攝動(dòng)理論相結(jié)合的新算法并算出氦原子最低能態(tài)的良好近似值;研究了矩陣特征值的定位問題,得到精度很高的上下界估計(jì)公式。70年代中期以來,從事有限元的理論研究和應(yīng)用,首創(chuàng)的樣條有限元被廣泛應(yīng)用于實(shí)際計(jì)算并引發(fā)了大量后繼工作;研究非協(xié)調(diào)元的收斂性,證明國際上流行的一種檢驗(yàn)方法既非必要也不充分,并提出新的判別準(zhǔn)則;發(fā)現(xiàn)非協(xié)調(diào)元的一系列奇特的錯(cuò)向收斂性質(zhì),從理論上證實(shí)了早期工程計(jì)算中觀察到的現(xiàn)象;分析并證明多種在應(yīng)用上極有價(jià)值的非協(xié)調(diào)元的收斂性,奠定了它們的理論基礎(chǔ)。上世紀(jì)90年代開始從事區(qū)域分解和多重網(wǎng)格法的研究,獲得許多很好的結(jié)果。90年代后期,研究彈性力學(xué)中閉鎖問題的有限元方法,成績顯著,居于國際前列。

1987年石鐘慈被授予國家級有突出貢獻(xiàn)中青年專家光榮稱號。 在國內(nèi)外重要的教學(xué)刊物上發(fā)表論文60多篇,撰有個(gè)人專著1冊,主編國際會議文集8本。曾先后單獨(dú)獲得中國科學(xué)院重大科技成果獎(jiǎng)和自然科學(xué)獎(jiǎng),以及國家自然科學(xué)獎(jiǎng)。1987年被授予國家級有突出貢獻(xiàn)中青年專家稱號。是中國四種計(jì)算數(shù)學(xué)刊物的主編,德、美、日、俄、巴西等國六種計(jì)算數(shù)學(xué)刊物的編委。曾任中國數(shù)學(xué)會副理事長(1988—1995),后任中國計(jì)算數(shù)學(xué)會理事長。1991年當(dāng)選為中國科學(xué)院數(shù)理學(xué)部院士。曾獲得第六屆華羅庚數(shù)學(xué)獎(jiǎng) 。

1990年,馮康和石鐘慈共同努力,成立了由計(jì)委直接撥款的“中國科學(xué)院科學(xué)與工程計(jì)算國家重點(diǎn)實(shí)驗(yàn)室”,石擔(dān)任室主任,這對中國計(jì)算數(shù)學(xué)發(fā)展是非常重要的一步。隨后,1991年和1996年連續(xù)兩期獲得國家“大規(guī)?茖W(xué)與工程計(jì)算的方法和理論”的攀登計(jì)劃項(xiàng)目的資助,馮先生與石鐘慈分別擔(dān)任國家攀登項(xiàng)目“大規(guī)?茖W(xué)與工程計(jì)算”一期和二期的首席科學(xué)家。

石鐘慈的主要研究方向是從事陣特征值的定位問題研究,得到精度很高的上下界估計(jì)公式;從事有限元的理論研究和應(yīng)用,首創(chuàng)的樣條有限元被廣泛應(yīng)用于實(shí)際計(jì)算并引發(fā)了大量后繼工作;研究非協(xié)調(diào)元的收斂性,證明國際上流行的一種檢驗(yàn)方法既非必要也不充分,并提出新的判別準(zhǔn)則;發(fā)現(xiàn)非協(xié)調(diào)元的一系列奇特的錯(cuò)向收斂性質(zhì),從理論上證實(shí)了早期工程計(jì)算中觀察到的現(xiàn)象;分析并證明多種在應(yīng)用上極有價(jià)值的非協(xié)調(diào)元的收斂性;從事區(qū)域分解和多重網(wǎng)格法的研究,獲得許多很好的結(jié)果;研究彈性力學(xué)中閉鎖問題的有限元方法。