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李善蘭自幼酷愛數(shù)學。9歲時，他發(fā)現(xiàn)父親的書架上有一本中國古代數(shù)學名著——《九章算術》，感到十分新奇有趣，從此就迷上了數(shù)學。14歲時他又靠自學讀懂了徐光啟與利瑪竇合譯的古希臘數(shù)學名著歐幾里得《幾何原本》前六卷。李善蘭發(fā)現(xiàn)歐氏幾何嚴密的邏輯體系，清晰的數(shù)學推理，與偏重實用解法和計算技巧的中國古代傳統(tǒng)數(shù)學思路有很大的不同，他在學習《九章算術》的基礎上，吸取了《幾何原本》的新思想，結合兩種文明的長處和特點，這使他的數(shù)學水平有了很大的提高。 幾年后李善蘭到省府杭州參加鄉(xiāng)試，由于他酷愛數(shù)學，“故于算學用心極深”而對八股文章下工夫不夠，做得不好，所以未考中落榜。但他卻毫不介意，而是利用在杭州的機會，留意搜尋各種數(shù)學書籍，買回了李冶的《測圓海鏡》和戴震的《勾股割圓記》，仔細研讀。同時還在嘉興等地與數(shù)學家顧觀光、張文虎、汪曰楨以及戴煦、羅士琳、徐有壬等人相識，經(jīng)常在學術上相互切磋。自此數(shù)學造詣日臻精深，時有心得，輒復著書，1845年前后發(fā)表了具有解析幾何思想和微積分方法的數(shù)學研究成果──“尖錐術”。
李善蘭與英國傳教士偉烈亞力等人合作翻譯《幾何原本》后九卷
從1852年到1859年期間，李善蘭在上海墨海書館與英國傳教士、漢學家偉烈亞力等人合作翻譯出版了《幾何原本》后九卷。除此之外，李善蘭還翻譯《代數(shù)學》13卷、《代微積拾級》18卷、《談天》18卷、并與人合作翻譯《重學》20卷和《圓錐曲線說》3卷等大量的數(shù)學論著，《植物學》等西方近代科學著作，還翻印了《奈端數(shù)理》（即牛頓《自然哲學的數(shù)學原理》）四冊（未刊），這是解析幾何、微積分、哥白尼日心說、牛頓力學、近代植物學傳入中國的開端。 李善蘭的翻譯工作是很有獨創(chuàng)性的，許多重要的中文數(shù)學名詞術語，“代數(shù)”、“函數(shù)”、“方程式”、“微分”、“積分”、“級數(shù)”、“植物”、“細胞”等都是他創(chuàng)造的。他匠心獨具地選用的這些中文的科學名詞，不僅意思貼切，很容易理解，而且又是雅而不俗。這些名詞不僅在中國流傳，而且東渡日本，沿用至今。李善蘭為近代科學在中國的傳播和發(fā)展作出了開創(chuàng)性的貢獻。 1860年起他先后在徐有壬、曾國藩軍中作幕僚，與化學家徐壽、數(shù)學家華蘅芳等人一起積極參與洋務運動中的科技學術活動。1867年他出版了《則古昔齋算學》，匯集了二十多年來在數(shù)學、天文學和彈道學等方面的著作，計有《方圓闡幽》、《弧矢啟秘》、《對數(shù)探源》、《垛積比類》、《四元解》、《麟德術解》、《橢圓正術解》、《橢圓新術》、《橢圓拾遺》、《火器真訣》、《對數(shù)尖錐變法釋》、《級數(shù)回求》和《天算或問》等13種24卷，共約15萬字。 1868年，李善蘭被薦任北京同文館天文算學總教習，直至1882年他逝世為止，從事數(shù)學教育十余年，其間審定了《同文館算學課藝》、《同文館珠算金□》等數(shù)學教材，培養(yǎng)了一大批數(shù)學人才，是中國近代數(shù)學教育的鼻祖。 李善蘭潛心科學，淡于利祿。晚年官至三品，授戶部正郎、廣東司行走、總理各國事務衙門章京等職，但他從來沒有離開過同文館教學崗位，也沒有中斷過科學研究特別是數(shù)學研究工作。他的數(shù)學著作，除《則古昔齋算學》外,尚有《考數(shù)根法》、《粟布演草》、《測圓海鏡解》、《九容圖表》，而未刊行者，有《造整數(shù)勾股級數(shù)法》、《開方古義》、《群經(jīng)算學考》、《代數(shù)難題解》等。 李善蘭創(chuàng)立的“尖錐”概念，是一種處理代數(shù)問題的幾何模型，他對“尖錐曲線”的描述實質(zhì)上相當于給出了直線、拋物線、立方拋物線等方程。他創(chuàng)造的“尖錐求積術”，相當于冪函數(shù)的定積分公式和逐項積分法則。還在各種三角函數(shù)和反三角函數(shù)的展開式，以及對數(shù)函數(shù)的展開式，在使用微積分方法處理數(shù)學問題方面取得了創(chuàng)造性的成就。 尖錐術理論主要見于《方圓闡幽》、《弧矢啟秘》、《對數(shù)探源》三種著作，成書年代約為1845年，當時解析幾何與微積分學尚未傳入中國。 1859～1867李善蘭從研究中國傳統(tǒng)的垛積問題入手，寫了一本有關高階等差級數(shù)的著作《垛積比類》，獲得了一些相當于現(xiàn)代組合數(shù)學中的成果。例如，“三角垛有積求高開方廉隅表”和“乘方垛各廉表”實質(zhì)上就是組合數(shù)學中著名的第一種斯特林數(shù)和歐拉數(shù)�？梢哉J為，《垛積比類》是早期組合論的杰作。
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