《孫子算經(jīng)》中“物不知數(shù)”的問題
在古代《孫子算經(jīng)》中記載著一個“物不知數(shù)”的問題，說：有一數(shù)，三三數(shù)之余二，五五數(shù)之余二，七七數(shù)之余二，問此數(shù)為何？《孫子算經(jīng)》還給出解這題的方法：“術曰：三三數(shù)之剩二，置一百四十；五五數(shù)之剩三，置六十三；七七數(shù)之剩二，置三十；并之，得二百三十三，以二百十一減之即得�！�
秦九韶《數(shù)書九章》卷一“大衍總數(shù)術”是《孫子算經(jīng)》中“物不知數(shù)”題算法的推廣。從“孫子問題”到“大衍總數(shù)術”關于一次同余式求解的研究,形成了中國古典數(shù)學中饒有特色的部分。這方面的研究,可能是受到了天文歷法問題的推動。
秦九韶在書中第一次非常系統(tǒng)地介紹了一次同余方程組一般的求解方法，他提出了乘率、定數(shù)、衍母、衍數(shù)等一系列數(shù)學概念，并詳細敘述了“大衍求一術”的完整過程。至此由《孫子算經(jīng)》“物不知數(shù)”產(chǎn)生的一次同余式問題，才有了一個真正的一般解法。這項研究比西方要早五百多年。
秦九韶在《數(shù)書九章》中廣泛應用大衍總數(shù)術來解決歷法、工程、
賦役和軍旅等實際問題，在這些問題中，模數(shù)ai 并不總是兩兩互素的整數(shù)。 秦九韶區(qū)分了“元數(shù)”（整數(shù)）、“收數(shù)”（小數(shù)）“通數(shù)”（分數(shù)）等不同情形。大衍總數(shù)術
將收數(shù)和通數(shù)化成元數(shù)情形，而對于元數(shù)非兩兩互素的情形，則給出了可靠的計算程序把問題化歸為兩兩互素的情形，這是歷史上第一次對模數(shù)非兩兩互素的同余式組的處理。
在中國人之后，古代的印度數(shù)學家也考慮類似“孫子問題”，而歐洲是在1202年意大利數(shù)學家斐波那契寫的《算法之書》中才有兩個一次同余問題。
在歐洲，18世紀數(shù)學家歐拉和19 世紀的數(shù)學家高斯分別對一次同余組進行過深入的研究。重新獨立地獲得與秦九韶“大衍求一術”相同的定理。高斯在1801年出版的他的數(shù)學名著《算術探究》中，完整地提出了一次同余方程式組問題的理論與解法，并對模數(shù)兩兩互素的情形給出了嚴格證明，因此歐洲人把它稱為“高斯定理”。
而中國人從《孫子算經(jīng)》到秦九韶《數(shù)書九章》對一次同余式問題研究的成果，直到19世紀中期才被西方數(shù)學界認識。1847年，懂漢語的英國傳教士偉亞力來到中國，是他在1852年把《孫子算經(jīng)》的“物不知數(shù)”和秦九韶的“大衍求一術”介紹到歐洲。1876年，德國人馬蒂生指出，中國關于一次同余組的解法與《算術探究》中的高斯定理是完全一致的。這才引起了歐洲學者對這個問題的關注。從此中國古代數(shù)學的這一成就才逐漸被世界數(shù)學界承認，于是在西方數(shù)學史著作中被正式命名為“中國剩余定理”。
南宋數(shù)學家秦九韶是高次方程數(shù)值求解領域的集大成者。他在《數(shù)書九章》中,將增乘開方法推廣到了高次方程的一般情形。他將自己的方法稱為“正負開方術”。正負開方術是求高次代數(shù)方程的完整算法。這也是秦九韶的另一個重要的數(shù)學成就。
秦九韶的“正負開方術”是給出了一個機械化的迭代程序來計算新方程的系數(shù)a′0，a′1，…，a′n，這個程序與賈憲增乘程序的主要區(qū)別在于，后者在以試商由下而上累乘累加，在最后，要將所得結果從常數(shù)項中減去。而秦九韶的程序由于規(guī)定了“實常為負”，將整個運算都統(tǒng)一為加法，徹底實現(xiàn)了機械化的隨乘隨加。另外秦九韶的程序也可以用來求解一般的高次方程，在他的《數(shù)書九章》一共包含了21 個高次方程，其中次數(shù)最高的是10 次方程。
“正負開方術”代表了當時中國關于高次方程求解方法的實際水平，證明中國人對高次方程問題的研究還是處于領先地位的。
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