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他的父親李遹是金朝的進(jìn)士，一位博學(xué)多才的學(xué)者，曾在大興府尹胡沙虎手下任推官，負(fù)責(zé)勘問(wèn)刑獄的工作。由于胡沙虎篡權(quán)亂政，李遹被迫辭職，隱居在陽(yáng)翟。他為了防備胡沙虎的迫害，把家中的老小，包括還在童年的李冶送回家鄉(xiāng)。
李冶從小受到父親的言傳身教，他以父親的正直為人和好學(xué)精神為典范。在李冶看來(lái)，學(xué)問(wèn)比財(cái)富更可貴。在青少時(shí)期，李冶有一個(gè)好友叫元好問(wèn)，他是太原秀容人，詩(shī)和古文都很有名，李冶對(duì)文學(xué)、史學(xué)、數(shù)學(xué)、經(jīng)學(xué)都很感興趣，就與元好問(wèn)出外求學(xué)，拜文學(xué)家趙秉文、楊文獻(xiàn)為師，不久便名聲大振。公元1230
年，李冶赴洛陽(yáng)應(yīng)試，被錄取為詞賦科進(jìn)士，得高陵主簿官職，但他沒(méi)有赴任。當(dāng)時(shí)有人稱贊他“經(jīng)為通儒，文為名家”。后到鈞州（今河南禹縣）當(dāng)知事。
1232年，蒙古軍攻破了鈞州城，李冶棄職北走，隱居在晉北峰山的桐川。他在經(jīng)過(guò)一段時(shí)間的顛沛流離之后，就在崞縣的桐川定居下來(lái)。此時(shí)他已年過(guò)40。金朝的滅亡，使李冶感到政事已無(wú)可為，于是他就潛心研究學(xué)問(wèn)。雖然生活很艱苦，但有充分的時(shí)間進(jìn)行學(xué)術(shù)研究。他的研究工作涉及數(shù)學(xué)、文學(xué)、歷史、天文、哲學(xué)、
醫(yī)學(xué)等。他居住的屋子里，四面墻邊堆的都是書(shū)，別人都感覺(jué)受不了，他在里面卻覺(jué)得很舒服。與李冶同時(shí)代的硯堅(jiān)說(shuō)他，世間的書(shū)只要是他看見(jiàn)的，沒(méi)有他不研究的，甚至是“薄物細(xì)故”，從不遺漏。
李冶認(rèn)為，數(shù)學(xué)雖然在六藝（禮、樂(lè)、射、御、書(shū)、數(shù)）的最后一位，但是把它放在“人事”中來(lái)看，卻是最重要的學(xué)問(wèn)，于是他把大部分的精力用于研究數(shù)學(xué)。他主要研究的是天元術(shù)。
中國(guó)最早的代數(shù)成就——“天元術(shù)”
宋元時(shí)期高次方程數(shù)值求解技術(shù)的發(fā)展，引起了對(duì)列方程方法的需求。
隨著數(shù)學(xué)問(wèn)題的日益復(fù)雜，迫切需要一種一般的、能建立任意次方程的方法，天元術(shù)便是在這樣的背景下產(chǎn)生而發(fā)展起來(lái)的。
中國(guó)列方程的思想可追溯到《九章算術(shù)》。該書(shū)是在東漢前期成書(shū)，全書(shū)分為九章，其中第八章《方程》，是使用文字?jǐn)⑹龅姆椒ń⒘硕畏匠�，但沒(méi)有明確的未知數(shù)概念。到唐代公元6
世紀(jì)下半葉，王孝通已能列出三次方程。他在《緝古算術(shù)》討論了四類問(wèn)題的求解。第一類是天文學(xué)中的計(jì)算問(wèn)題；第二類是土木工程中的土方問(wèn)題，主要是求體積，根據(jù)已知條件計(jì)算其體積及長(zhǎng)、寬、高，另一方面從已知的某一部分體積及某些參數(shù)求其長(zhǎng)、寬、高等。問(wèn)題之復(fù)雜超過(guò)了以往任何算經(jīng)。第三類求各種形狀的倉(cāng)房、地窖的高、廣、徑問(wèn)題。第四類是已知勾、股、弦三事二者之積或差，求 勾、股、弦的問(wèn)題。后三類問(wèn)題大都?xì)w結(jié)為一個(gè)方程。王孝通雖然能列出三次方程，但他不懂天元術(shù)，完全是用幾何方法推導(dǎo)方程，所以需要很高的技巧，不易被一般人掌握。
實(shí)際上，在宋之前的方程理論一直受幾何思維束縛，如常數(shù)項(xiàng)只能為正，因?yàn)槌?shù)通常是表示面積、體積等幾何量的；方程次數(shù)不高于三次，因?yàn)楦哂谌蔚姆匠叹碗y于找到幾何解釋了。王孝通的四次方程，是通過(guò)兩次開(kāi)平方解決的。經(jīng)過(guò)北宋賈憲、劉益等人的工作，求高次方程正根的問(wèn)題基本解決了。
在流傳下來(lái)的宋元數(shù)學(xué)著作中，最早對(duì)天元術(shù)進(jìn)行系統(tǒng)介紹的是李冶的《測(cè)圓海鏡》（1248）和《益古演段》（1259）兩部著作。天元術(shù)是一種用數(shù)學(xué)符號(hào)列方程的方法，是我國(guó)早期使用的一種半符號(hào)代數(shù)，當(dāng)時(shí)它還很不成熟，因此李冶決心把天元術(shù)改造得更加完善。 、
花一生心血寫(xiě)兩部數(shù)學(xué)專著，用五常精思致力成就“天元術(shù)”
李冶將一生的心血化為兩本珍貴專著《測(cè)圓海鏡》12卷（1248年）和《益古演段》3卷（1259年）。他在病危時(shí)對(duì)其子克修說(shuō)：“測(cè)圓海鏡一書(shū)，雖九九小數(shù)，五常精思致力焉，后世必有知者”。他鄭重地叮囑兒子，千萬(wàn)要保存好，不要把它們燒毀了。可是在當(dāng)時(shí)社會(huì)環(huán)境下，李冶的工作還不能被當(dāng)時(shí)學(xué)者的理解，《測(cè)圓海鏡》和《益古演段》兩書(shū)，是在李冶逝世后三十年才得以付印的。這兩本也成為我國(guó)和世界至今保留下來(lái)的有關(guān)天元術(shù)研究的最早、最完整而詳細(xì)的著作。
在李冶之前，天元術(shù)還比較幼稚，記號(hào)混亂，演算比較煩瑣麻煩。李冶在對(duì)早期天元術(shù)問(wèn)題進(jìn)行了分析之后，對(duì)“天元術(shù)”進(jìn)行了比較大的改進(jìn)。他認(rèn)識(shí)到，只有擺脫幾何思維束縛，建立一套不依賴于具體問(wèn)題的固定程序，才能實(shí)現(xiàn)上述目的。
李冶的《測(cè)圓海鏡》便是天元術(shù)的代表作，他在公元1248年完成了他的代數(shù)名著《測(cè)圓海鏡》。他的天元術(shù)與現(xiàn)代列方程的方法極為類似。
李冶總結(jié)出的列方程程序是，首先“立天元一為某某”：這相當(dāng)于現(xiàn)在的“設(shè)x為某某”的意思；然后依據(jù)題設(shè)條件列出兩個(gè)相等的天元式（含未知數(shù)的多項(xiàng)式），尋找兩個(gè)等值的而且至少有一個(gè)含天元的多項(xiàng)式；最后把兩個(gè)等值多項(xiàng)式聯(lián)為方程，通過(guò)“相消”化成標(biāo)準(zhǔn)形式
anXn+an-1Xn-1+a0X0=0 李冶創(chuàng)造出了一種比較清晰和簡(jiǎn)便的、適于各類問(wèn)題的列方程的方法。最后利用增乘開(kāi)方法求這個(gè)方程的根。
李治在書(shū)中把記多項(xiàng)式的文字省略為一個(gè)字，在一次項(xiàng)旁邊記個(gè)“元”字，或在常數(shù)項(xiàng)旁邊記個(gè)“太”字，使天元術(shù)成為比較簡(jiǎn)單的固定形式。這在世界數(shù)學(xué)史上也是處于領(lǐng)先地位的。
我們知道歐洲直到16世紀(jì)下半葉才由韋達(dá)引入了半符號(hào)的代數(shù)，它比我國(guó)的天元術(shù)至少晚了300年。 西方把韋達(dá)稱為“代數(shù)符號(hào)之父”，而韋達(dá)提出用代數(shù)符號(hào)的時(shí)間卻是在李治使用天元術(shù)300多年之后。
實(shí)際上，《測(cè)圓海鏡》中方程各項(xiàng)的符號(hào)均無(wú)限制，這是代數(shù)學(xué)的一個(gè)進(jìn)步。
李冶由于擺脫了幾何思維束縛，在方程理論上取得了四項(xiàng)進(jìn)展：
第一，他改變了傳統(tǒng)的把常數(shù)項(xiàng)看作正數(shù)的觀念，常數(shù)項(xiàng)可正可負(fù)，而不再拘泥于它的幾何意義。
第二，李冶已能利用天元術(shù)熟練地列出高次方程。在這里，未知數(shù)已具有純代數(shù)意義，二次方并非代
表面積，三次方程也并非代表體積。
第三，李冶完整解決了分式方程問(wèn)題，他已懂得用方程兩邊同乘一個(gè)整式的方法化分式方程為整式方程。
第四，李冶已懂得用純代數(shù)方法降低方程次數(shù)。當(dāng)方程各項(xiàng)含有公因子xn（n
為正整數(shù)）時(shí)，李冶便令次數(shù)最低的項(xiàng)為實(shí)，其他各項(xiàng)均降低這一次數(shù)。
《測(cè)圓海鏡》不僅是我國(guó)現(xiàn)存最早的一部天元術(shù)著作，而且在書(shū)的編排上也有創(chuàng)新。全書(shū)基本上是一個(gè)演繹體系，卷一包含了解題所需的定義、定理、公 式，后面各卷問(wèn)題的解法均可在此基礎(chǔ)上以天元術(shù)的方法推導(dǎo)出來(lái)。李冶以前的算術(shù)，一般采取問(wèn)題集的形式，各章（卷）內(nèi)容大體上平列。李冶以演繹法著書(shū)，這是中國(guó)數(shù)學(xué)史上的一個(gè)進(jìn)步。
秦九韶是在公元1247年9
月完成他的數(shù)學(xué)名著《數(shù)書(shū)九章》，而李冶的《測(cè)圓海鏡》比《數(shù)書(shū)九章》
成書(shū)的時(shí)間相差不過(guò)一年。
李冶還發(fā)明了負(fù)號(hào)，他的負(fù)號(hào)與現(xiàn)在不同，是數(shù)字上畫(huà)一條斜線。而在國(guó)外，德國(guó)人是在15
世紀(jì)才引入負(fù)號(hào)的。李冶還發(fā)明了一套相當(dāng)簡(jiǎn)明的小數(shù)記法，在李冶之前，小數(shù)記法離不開(kāi)數(shù)名，如 7.59875 尺記作七尺五寸九分八厘七毫五絲。李冶則取消數(shù)名，完全用數(shù)碼表示小數(shù)，純小數(shù)在個(gè)位處寫(xiě)0，帶小數(shù)于個(gè)位數(shù)下寫(xiě)步，如 0.25 記作○＝|||||，這種記法在當(dāng)時(shí)算是最先進(jìn)的。直到17 世紀(jì)，英國(guó)數(shù)學(xué)家J·納普爾（1550—1617）發(fā)明小數(shù)點(diǎn)后，小數(shù)才有了更好的記法。
李冶由于掌握了一套完整的數(shù)字符號(hào)及性質(zhì)符號(hào)，他的方程已能用符號(hào)表示，從而改變以往用文字描述方程的狀況。但這時(shí)仍缺少運(yùn)算符號(hào)，特別是缺少等號(hào)。因此這樣的代數(shù)，只能稱為“半符號(hào)代數(shù)”，它是近代符號(hào)代數(shù)的前身。大約300 年后，類似的半符號(hào)代數(shù)也在歐洲產(chǎn)生了。
李冶撰寫(xiě)《益古演段》為推廣普及“天元術(shù)”
北宋數(shù)學(xué)家蔣周寫(xiě)過(guò)一本《益古集》，內(nèi)容多為二次方程，列方程的方法則是幾何方法。李冶讀過(guò)蔣周的《益古集》，并用天元術(shù)對(duì)這本書(shū)進(jìn)行了研究。公元1259 年，李冶的另一本數(shù)學(xué)著作《益古演段》寫(xiě)成了�！兑婀叛荻巍啡珪�(shū)共3卷，64題，主要處理的是平面圖形的面積問(wèn)題，所求多為圓徑、方邊、周長(zhǎng)之類。除四道題是一次方程外，全是二次方程問(wèn)題，內(nèi)容安排基本上是從易到難。從這個(gè)角度來(lái)分析，《益古演段》這本書(shū)，可能是李冶在教學(xué)過(guò)程中為學(xué)生所寫(xiě)的教材。
《益古演段》在數(shù)學(xué)理論上也有創(chuàng)新。該書(shū)的問(wèn)題同《測(cè)圓海鏡》有所不同，所求的量不是一個(gè)而是兩個(gè)、三個(gè)甚至四個(gè)。按照古代的方程理論“二物者再程，三物者三程，皆如物數(shù)程之�！睉�(yīng)該用方程組來(lái)解，所含方程的個(gè)數(shù)與所求的個(gè)數(shù)是一致的。但是解二次方程組顯然要比解一元方程困難得多。
李冶是在完成了《測(cè)圓海鏡》之后再來(lái)寫(xiě)《益古演段》，他對(duì)天元術(shù)的運(yùn)用自然會(huì)更加熟練，但是他在這本書(shū)中卻沒(méi)有像他在《測(cè)圓海鏡》中那樣，完全用天元術(shù)來(lái)解題。書(shū)中新舊二術(shù)并用，新術(shù)是李冶的代數(shù)方法——天元術(shù)；舊術(shù)仍然是蔣周的幾何方法——條段法。條段法是一種圖解的方法，因?yàn)榉匠谈黜?xiàng)常用一段一段的條形面積表示，所以得名為條段法。這本書(shū)深入淺出，揭示了天元術(shù)和條段法的聯(lián)系和區(qū)別，使人們了解條段法向天元術(shù)的過(guò)渡過(guò)程，他還在書(shū)中經(jīng)常使用人們比較易懂的幾何方法對(duì)天元術(shù)進(jìn)行驗(yàn)證，這對(duì)人們接受天元術(shù)是有很大幫助的。書(shū)中附有一些插圖，不僅有利于教學(xué)，也便于自學(xué)。硯堅(jiān)為李冶的《益古演段》作《序》，稱贊這本書(shū)說(shuō)：“說(shuō)之詳，非若溟涬黯淡之不可曉；析之明，非若淺近粗俗之無(wú)足觀”。這些特點(diǎn)，使《益古演段》成為一本受人們歡迎的數(shù)學(xué)教材，對(duì)天元術(shù)的傳播起了不小的作用。
李冶所處的年代是一個(gè)政治動(dòng)蕩不定的時(shí)期，他的研究是在極其困難的條件下進(jìn)行的。特別是在棄官隱居之后，生活更加艱苦，常常是饑寒至不能自存，但他仍以講學(xué)、著書(shū)為樂(lè)。很多人都譏笑李冶，說(shuō)他“玩物喪志”，李冶泰然自若。他堅(jiān)決拒絕了朝廷高官厚祿的誘惑，潛心研究“天元術(shù)”，能做到這一點(diǎn)是非常不容易的。
李冶善于接受前人知識(shí)，取其精華。有人問(wèn)學(xué)于李冶，李冶回答說(shuō)：“學(xué)有三：積之之多不若取之之精，取之之精不若得之之深”。這就是說(shuō)，要去其糟粕，取其精華，并使它成為自己的東西。 李冶反對(duì)文章的深?yuàn)W化和庸俗化，他認(rèn)為文章是寫(xiě)給別人看，而不是為自己。李冶在《益古演段》序中說(shuō)：“今之算者，未必有劉（徽）李（淳風(fēng)）之工，而編心踞見(jiàn)，不肯曉然示人唯務(wù)隱互錯(cuò)揉故為溪滓黯哭，唯恐學(xué)者得窺其仿佛也。”
他的《益古演段》就是這種主張下的著作。
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