| 遺憾的是，芝諾的著作沒有能流傳下來(lái)，我們是通過(guò)批評(píng)他的亞里士多德及其注釋者辛普里西奧斯才得以了解芝諾悖論的要旨的。
直到19世紀(jì)中葉，人們對(duì)于亞里士多德關(guān)于芝諾悖論的引述及批評(píng)幾乎是深信不疑的，普遍認(rèn)為芝諾悖論只不過(guò)是一些有趣的謬見。英國(guó)數(shù)學(xué)家B·羅素（Russell）感慨地說(shuō)道：“在這個(gè)變化無(wú)常的世界上，沒有什么比死后的聲譽(yù)更變化無(wú)常了。死后得不到應(yīng)有的評(píng)價(jià)的最顯眼的犧牲品莫過(guò)于埃利亞的芝諾了。他雖然發(fā)明了4個(gè)無(wú)限微妙、無(wú)限深邃的悖論，后世的大批哲學(xué)家們卻宣稱他只不過(guò)是一個(gè)聰明的騙子，而他的悖論只不過(guò)是一些詭辯。
柏拉圖在他的《巴門尼德》篇中，記敘了芝諾和巴門尼德在公元前5世紀(jì)的中期去雅典的一次訪問。其中說(shuō)：“巴門尼德年事已高，約65歲，滿頭白發(fā)，但儀表堂堂。那時(shí)芝諾約40歲，身材魁梧而美觀�！�
并在書中記述了芝諾的觀點(diǎn)。據(jù)說(shuō)芝諾在為巴門尼德的“存在論”辯護(hù)。但是不象他的老師那樣企圖從正面去證明存在是“一”不是“多”，是“靜”不是“動(dòng)”，他常常用歸謬法從反面去證明：“如果事物是多數(shù)的，將要比是‘一’的假設(shè)得出更可笑的結(jié)果�！彼猛瑯拥姆椒ǎ擅畹貥�(gòu)想出一些關(guān)于運(yùn)動(dòng)的論點(diǎn)。他的這些議論，就是所謂“芝諾悖論”。芝諾有一本著作《論自然》。在柏拉圖的《巴門尼德》篇中，當(dāng)芝諾談到自己的著作時(shí)說(shuō)：“由于青年時(shí)的好勝著成此篇，著成后，人即將它竊去，以致我不能決斷，是否應(yīng)當(dāng)讓它問世。” 公元5世紀(jì)的評(píng)論家普羅克洛斯(Proclus)在給這段話寫的評(píng)注中說(shuō)，芝諾從“多”和運(yùn)動(dòng)的假設(shè)出發(fā)，一共推出了四十個(gè)各不相同的悖論。芝諾的著作久已失傳，亞里士多德的《物理學(xué)》和辛普里西奧斯為《物理學(xué)》作的注釋是了解芝諾悖論的主要依據(jù)，此外還有少量零星殘篇可提供佐證�，F(xiàn)存的芝諾悖論至少有八個(gè)，其中最著名的是關(guān)于運(yùn)動(dòng)的四個(gè)悖論。 下面就是這四個(gè)悖論。引號(hào)內(nèi)的是亞里士多德的《物理學(xué)》中的原話。
◆ 二分說(shuō)�！斑\(yùn)動(dòng)不存在”。理由是：位移事物在達(dá)到目的地之前必須先抵達(dá)一半處。“J·伯內(nèi)特（Burnet）解釋說(shuō)：即不可能在有限的時(shí)間內(nèi)通過(guò)無(wú)限多個(gè)點(diǎn)。在你走完全程之前必須先走過(guò)給定距離的一半，為此又必須走過(guò)一半的一半，等等，直至無(wú)窮。
◆ 阿基里斯（Achilles，荷馬史詩(shī)《伊里亞特》中的善跑猛將）追龜說(shuō)�！斑@個(gè)論點(diǎn)的意思是說(shuō)：一個(gè)跑得最快的人永遠(yuǎn)追不上一個(gè)跑得最慢的人。因?yàn)樽汾s者首先必須跑到被追者的起跑點(diǎn)，因此走得慢的人永遠(yuǎn)領(lǐng)先。”伯內(nèi)特解釋說(shuō)，當(dāng)阿基里斯到達(dá)烏龜?shù)钠鹋茳c(diǎn)時(shí)，烏龜已經(jīng)走在前面一小段路了，阿基里斯又必須趕過(guò)這一小段路，而烏龜又向前走了。這樣，阿基里斯可無(wú)限接近它，但不能追到它。 ◆
飛箭靜止說(shuō)�！叭绻魏问挛铮�(dāng)它是在一個(gè)和自己大小相同的空間里時(shí)（沒有越出它），它是靜止著。如果位移的事物總是在‘現(xiàn)在’里占有這樣一個(gè)空間，那么飛著的箭是不動(dòng)的�！� ◆
運(yùn)動(dòng)場(chǎng)悖論�！暗谒膫�(gè)是關(guān)于運(yùn)動(dòng)場(chǎng)上運(yùn)動(dòng)物體的論點(diǎn)：跑道上有兩排物體，大小相同且數(shù)目相同，一排從終點(diǎn)排到中間點(diǎn)，另一排從中間點(diǎn)排到起點(diǎn)。它們以相同的速度沿相反方向作運(yùn)動(dòng)。芝諾認(rèn)為從這里可以說(shuō)明：一半時(shí)間和整個(gè)時(shí)間相等”。
【關(guān)于芝諾悖論的分析與研究】 現(xiàn)在把這3個(gè)悖論聯(lián)系起來(lái)分析。誠(chéng)如亞里士多德所說(shuō)，阿基里斯追龜說(shuō)其實(shí)可以歸結(jié)為二分說(shuō)。按照二分說(shuō)，阿基里斯在到達(dá)烏龜?shù)钠鹋茳c(diǎn)之前，必須先走過(guò)這段距離的1/2，為此，又必須先走過(guò)1/4，1/8，等等，即必須在有限的時(shí)間內(nèi)通過(guò)無(wú)限多個(gè)點(diǎn)，因此按芝諾的理由，阿基里斯根本就動(dòng)彈不了。 芝諾悖論揭示的是事物內(nèi)部的稠密性和連續(xù)性之間的區(qū)別，是無(wú)限可分和有限長(zhǎng)度之間的矛盾，亞里士多德沒有能覺察到這一點(diǎn)，當(dāng)然實(shí)際上沒有能駁倒芝諾。P·湯納利（Tannery）在1885年指出，芝諾悖論所反對(duì)的是那種認(rèn)為空間是點(diǎn)的總和、時(shí)間是瞬刻的總和的概念。換句話說(shuō)，芝諾并不否認(rèn)運(yùn)動(dòng)，但是他想證明在空間作為點(diǎn)的總和的概念下運(yùn)動(dòng)是不可能的。
芝諾的類似觀點(diǎn)還表現(xiàn)在他的兩個(gè)針對(duì)“多”的悖論中。其中一個(gè)見于失傳的芝諾原著的如下一段殘篇： 如果有許多事物，那就必須與實(shí)際存在的事物相符，既不多也不少�？墒侨绻邢筮@樣多的事物，事物（在數(shù)目上）就是有限的了。如果有許多事物，存在物（在數(shù)目上）就是無(wú)窮的。因?yàn)樵诟鱾�(gè)事物之間永遠(yuǎn)有一些別的事物，而在這些事物之間又有別的事物。這樣一來(lái)，存在物就是無(wú)窮的了。 芝諾認(rèn)為存在若是“多”就會(huì)導(dǎo)致無(wú)窮的論證，也表達(dá)在另一個(gè)悖論里。它被辛普里西奧斯至少是部分地逐字逐句記述下來(lái)。這些記述不象阿基里斯追龜說(shuō)和飛箭靜止說(shuō)那樣經(jīng)后人或多或少地修改過(guò)，雖然表達(dá)得沒有那么清楚，但是卻更接近于芝諾的原話。辛普里西奧斯在他的引言里說(shuō)，芝諾首先論證既無(wú)“大小”又無(wú)厚度的東西是不能存在的�！耙�?yàn)槿绻@樣，它加在某物之上不能使其變大，從某物減去也不能使其變小。但是，如果不能因增加它而使一物增大，也不能因減少它而使一物減小，這就明顯地看出，所增加或所減少的是零。” 因此，把任意數(shù)目的這些“無(wú)”元素加在任何東西上都不會(huì)使它增大，反之從任何東西里減去它們也不會(huì)使它變��；當(dāng)然，把這些“無(wú)”元素通通加起來(lái)，即使其數(shù)目有無(wú)限多個(gè)，其總和還是“無(wú)”。上述悖論和關(guān)于運(yùn)動(dòng)的前三個(gè)悖論的共同點(diǎn)，在于假定了空間、時(shí)間和物體的無(wú)限可分性，實(shí)際上還討論了無(wú)窮小和連續(xù)性。芝諾在這里其實(shí)還援引了如下兩個(gè)假設(shè)：
i) 無(wú)限多個(gè)相等的任意小的正量的總和必然是無(wú)窮大；
ii) 無(wú)限多個(gè)沒有大小的量的總和仍然是沒有大小的量。
其中假設(shè)ii)是芝諾反對(duì)把線段(時(shí)間、空間)看成是一個(gè)無(wú)限點(diǎn)集(無(wú)限多個(gè)沒有大小的量的總和)的主要依據(jù)。因此解決芝諾悖論的一個(gè)關(guān)鍵就是證明假設(shè)ii)不成立。A·格蘭巴姆(Grünbaum)于1952年詳盡地討論了這個(gè)問題。他把只含有一個(gè)點(diǎn)的子區(qū)間定義為退化子區(qū)間，從而得出下列結(jié)論：
1)有限區(qū)間(a，b)是退化子區(qū)間的連續(xù)統(tǒng)的并集；
2)每個(gè)退化子區(qū)間的長(zhǎng)度是零；
3)區(qū)間(a，b)的長(zhǎng)度是b—a； 4)一個(gè)區(qū)間的長(zhǎng)度不是它的基數(shù)的函數(shù)。
因此，芝諾的假設(shè)ii)不能成立。事實(shí)上，將一個(gè)線段（或別的量）按二分法進(jìn)行無(wú)限分割，不可能有最后元素。因?yàn)榧仁菬o(wú)限分割，它就是一個(gè)沒有最后一項(xiàng)的永遠(yuǎn)不能完成的過(guò)程。在取極限的意義上，按結(jié)論1)，有限區(qū)間(a，b)成為不可數(shù)的無(wú)限個(gè)退化子區(qū)間的并集，這時(shí)雖然每個(gè)退化子區(qū)間(或每個(gè)點(diǎn))的長(zhǎng)度為0，但整個(gè)并集的長(zhǎng)度不是0，而是b—a(按結(jié)論3))。這樣，作為對(duì)芝諾和亞里士多德的回答，時(shí)間和距離都是作為無(wú)長(zhǎng)度元素(點(diǎn))的無(wú)窮集合的線性連續(xù)統(tǒng)。換言之，線段是點(diǎn)的無(wú)窮集合，而時(shí)間是無(wú)廣延的瞬刻的無(wú)窮集合，它們都是線性連續(xù)統(tǒng)。這樣，飛箭靜止說(shuō)這一悖論，原來(lái)指在任一給定的瞬刻是不動(dòng)的但在由無(wú)限多瞬刻組成的連續(xù)體上卻是動(dòng)的，現(xiàn)在轉(zhuǎn)換成一個(gè)新的“悖論”：由無(wú)廣延的點(diǎn)組成的無(wú)窮集卻有廣延。
這是古代文獻(xiàn)中第一個(gè)涉及相對(duì)運(yùn)動(dòng)的問題，在現(xiàn)存的芝諾悖論中，它是唯一的和連續(xù)統(tǒng)問題無(wú)關(guān)的問題。不過(guò)也有學(xué)者(例如P。湯納利等人)認(rèn)為它和連續(xù)統(tǒng)問題是有著某種聯(lián)系的。
【對(duì)芝諾的評(píng)價(jià)、研究及起對(duì)后世的影響】
19世紀(jì)下半葉學(xué)者們開始重新研究芝諾，他們推測(cè)芝諾的理論在古代沒有得到完整的、正確的報(bào)道，而是被詭辯家們用作倡導(dǎo)懷疑主義和否定知識(shí)的工具，從而背離了芝諾的真正宗旨。而亞里士多德正是按照被詭辯家們歪曲過(guò)的形象來(lái)引述芝諾悖論的。然而迄今為止，學(xué)者們還找不出可靠的證據(jù)足以推翻亞里士多德和辛普里西奧斯關(guān)于芝諾悖論的記述。由于目前對(duì)希臘哲學(xué)史了解得還不夠，對(duì)于芝諾提出這些悖論的目的何在尚不清楚。比較一致的意見是：芝諾關(guān)于運(yùn)動(dòng)的悖論并不是簡(jiǎn)單地否認(rèn)運(yùn)動(dòng)，芝諾責(zé)難“多”也不是簡(jiǎn)單地把兩只羊說(shuō)成一只羊。在這些悖論后面有著更深層的內(nèi)涵。亞里士多德的著作保存了芝諾悖論的大意，功不可沒，但是他對(duì)于芝諾悖論的分析和批評(píng)并非十分成功，是值得重新研究的。
關(guān)于芝諾悖論對(duì)于古代希臘數(shù)學(xué)發(fā)展的重要性，在科學(xué)史學(xué)者中的意見是很不一致的。P·湯納利首先提出，芝諾和巴門尼德哲學(xué)的關(guān)系并不如古代傳說(shuō)中所肯定的那樣密切。相比之下，因畢達(dá)哥拉斯學(xué)派發(fā)現(xiàn)不可公度量而出現(xiàn)的一些問題，對(duì)于芝諾具有更加深刻的影響�；谕瑯拥募僭O(shè)，H.赫斯(Hasse)和H·斯科爾斯(Scholz)想把芝諾說(shuō)成是對(duì)古代數(shù)學(xué)的發(fā)展方向起決定影響的人物。他們?cè)噲D證明，畢達(dá)哥拉斯學(xué)派曾假定存在無(wú)限小的基本線段(初等線段)，想以此來(lái)克服因發(fā)現(xiàn)不可公度量而引起的困難。芝諾所反對(duì)的正是這種處理無(wú)窮小的不準(zhǔn)確的做法，從而迫使下一代的畢達(dá)哥拉斯學(xué)派的數(shù)學(xué)家去探求更好、更準(zhǔn)確的基礎(chǔ)。另有一些學(xué)者持有完全不同的意見。B·L·范德瓦爾登指出，我們已知的關(guān)于公元前五世紀(jì)下半葉的數(shù)學(xué)理論——不可公度量的發(fā)現(xiàn)無(wú)疑是那個(gè)時(shí)代作出的——并不支持芝諾曾經(jīng)對(duì)那個(gè)時(shí)代的數(shù)學(xué)發(fā)展作過(guò)任何重大貢獻(xiàn)的說(shuō)法。
雖然芝諾時(shí)代已經(jīng)過(guò)去二千四百多年了，但是圍繞芝諾的爭(zhēng)論還沒有休止。不論怎樣，人們無(wú)須擔(dān)心芝諾的名字會(huì)從數(shù)學(xué)史上一筆勾銷。正如美國(guó)數(shù)學(xué)史家E.T.貝爾(Bell)所說(shuō)，芝諾畢竟曾“以非數(shù)學(xué)的語(yǔ)言，記錄下了最早同連續(xù)性和無(wú)限性格斗的人們所遭遇到的困難。”
芝諾的功績(jī)?cè)谟谒诎乩瓐D學(xué)園中多次發(fā)起關(guān)于動(dòng)和靜的關(guān)系、無(wú)限和有限的關(guān)系、連續(xù)和離散的關(guān)系的討論。引起人們對(duì)他提出的這些悖論的關(guān)注與研究。雖然人們無(wú)法判斷他對(duì)古典希臘數(shù)學(xué)的發(fā)展有無(wú)直接的重要影響，但有一個(gè)事實(shí)是柏拉圖在《巴門尼德》中討論的一個(gè)主要話題就是關(guān)于芝諾的悖論，因此芝諾明顯是書中的主角之一。
當(dāng)時(shí)歐多克索斯（Eudoxus）正在柏拉圖學(xué)園中攻讀和研究數(shù)學(xué)與哲學(xué)。他后來(lái)創(chuàng)立了新的比例論，從而克服了因發(fā)現(xiàn)不可公度量而出現(xiàn)的數(shù)學(xué)危機(jī)；并完善了窮竭法，巧妙地處理了無(wú)窮小問題。在希臘數(shù)學(xué)發(fā)展的關(guān)鍵時(shí)刻，應(yīng)當(dāng)說(shuō)芝諾也做出過(guò)有意義的貢獻(xiàn)。
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