通常我們把牛頓看成科學家的范例，甚至按照當時的習慣說成哲學家也不為過。（證據(jù)：十多年前，著名英國科學史學家A. S. Hall出版的《Philosophers at War》講的是牛頓—萊布尼茲的爭吵）現(xiàn)在專業(yè)越分越細，牛頓頭上的桂冠往往從科學家細化為數(shù)學家、力學家、物理學家、天文學家（說他是化學家比較勉強，帕廷頓（J. R. Partington）的《化學史》有整章講牛頓，但他充其量不過是個煉金術士），他對地球形狀以及潮汐頗有研究，也可算是地學家，其他的方面可能就談不上了。愛因斯坦呢？物理學家毫無問題，數(shù)學家就比較勉強了。不過在當時，甚至現(xiàn)在，許多人仍把他視為數(shù)學家，最有力的證據(jù)就是他在20世紀頭20年曾和希爾伯特一起是德國著名數(shù)學專業(yè)期刊《數(shù)學年刊》的幾位編輯之一。
不過由于希爾伯特與另一數(shù)學家布勞威爾（直覺主義的宗師）關于數(shù)學基礎的大戰(zhàn)，希爾伯特把布勞威爾趕出《數(shù)學年刊》編輯部的同時，也把愛因斯坦給開掉了。其實這并不表明愛因斯坦站在布勞威爾一邊，也不表示希爾伯特認為愛因斯坦不夠格，愛因斯坦只不過在一次編輯部改組中陪綁罷了。當時愛因斯坦只關注物理，特別是統(tǒng)一論和量子力學問題，他對于當時每位數(shù)學家都關注的基礎大戰(zhàn)并不當成一回事，并譏之為“老鼠與青蛙的戰(zhàn)斗”。這表明一位偉大物理學家的數(shù)學觀與當時數(shù)學家的數(shù)學觀存在著相當?shù)牟罹唷?nbsp; 實際上，不僅是物理學家，就連許多數(shù)學家都跟不上當時的形勢。1900年左右，物理學產(chǎn)生革命性的變革眾所周知，而數(shù)學中的變革也悄悄地進行著。等到大家都理解的時候，才驚呼看來無用的純粹數(shù)學的“不可思議的有效性”。1900年前，在物理學家眼中，數(shù)學只不過是一個仆從或者工具，這個工具有時好使，有時也不怎么樣，最典型的是非線性問題從來不好辦，物理學家沒辦法，數(shù)學家也沒辦法，數(shù)學家沒了辦法不想辦法卻“鉆”起什么存在性、唯一性之類的理論的問題。更有甚者，物理學家還認為，那些不著邊際的抽象問題，解決得了還是解決不了都是一個樣，對現(xiàn)實世界毫無影響。 愛因斯坦就是抱著這樣的觀點進入大學的。說起來，愛因斯坦是頗具數(shù)學天賦的。他自己說“在12歲時，我……在歐幾里得平面幾何小書經(jīng)歷了第二次奇跡……“對歐幾里得神往的不只是愛因斯坦，大哲學家羅素在他的《自傳》第一卷中也談到，在11、12歲時，心情十分抑郁，甚至想到自殺，但學習歐幾里得幾何的狂喜使他從這種境地擺脫了出來。要知道，歐幾里得幾何決不是能使任何普通孩子感到興奮的。接著愛因斯坦說，“在12 16歲時，我自學包括微積分基礎在內的數(shù)學基本知識……”這兩件事說明，他對數(shù)學有著一定的興趣、感悟和能力。他學好數(shù)學乃至成為一位數(shù)學家不成問題。而且，他在1896年10月進入瑞士蘇黎世聯(lián)邦技術大學之后，更是有可能在這個培養(yǎng)數(shù)學家的最好環(huán)境中成為數(shù)學家，至少掌握最前沿的數(shù)學知識。愛因斯坦沒能夠這樣做，從某種意義上來講，他錯過了一次機會。 1900年左右，數(shù)學界發(fā)生了重要的思想變革，其領袖人物就是希爾伯特。而希爾伯特的思想來源，很大程度上是同比他年長3歲的胡爾維茨與比他年輕2歲的閔可夫斯基在格廷根大學期間經(jīng)過8年的散步慢慢積累起來的。而愛因斯坦上學期間，胡爾維茨是教授，閔可夫斯基是副教授，他完全有機會親自得到他們的口傳心授。當時，愛因斯坦的同班同學只有4個人。但是，愛因斯坦對物理學的興趣遠遠大于數(shù)學，加上他獨立不羈的性格，經(jīng)常逃課。他的表現(xiàn)用閔可夫斯基的話講最為透徹：“愛因斯坦在學生時期是條懶狗。他一點也不為數(shù)學操心。”愛因斯坦的狹義相對論的確使閔可夫斯基大吃一驚，但是，真正認識到狹義相對論價值并且從哲學和數(shù)學上推進一大步的也正是閔可夫斯基。用愛因斯坦的話說，正是閔可夫斯基第一次把時間和空間聯(lián)系在一起成為四維時空。另一個相關的發(fā)展則是群的觀念，這對愛因斯坦當然是陌生的，只有在后來愛因斯坦才認識到這種數(shù)學的價值。 如果說，提出狹義相對論，愛因斯坦的知識還算夠用的話，到廣義相對論，愛因斯坦則捉襟見肘。他不得不求助于他的同學格羅斯曼。從黎曼開始發(fā)展的黎曼幾何和張量分析仿佛是為廣義相對論定做的工具，格羅斯曼正好是這方面的專家。不可否認，愛因斯坦學這一套數(shù)學頗為吃力。實際上，愛因斯坦的廣義相對論大大推動了黎曼幾何學的發(fā)展，另一方面數(shù)學家則依他們的習慣對廣義相對論進行了推廣，以致愛因斯坦有一次自嘲道：“自從數(shù)學家搞起相對論研究之后，我自己就不再懂它了�！币舱怯捎谶@個原因，在1915年出現(xiàn)了希爾伯特和愛因斯坦的“優(yōu)先權之爭”。
廣義相對的核心是引力場方程。1915年11月25日愛因斯坦在柏林發(fā)表了他的場方程，而希爾伯特早幾天也推導出來了。但是，兩人之間并沒有什么“爭”。 希爾伯特一直認為愛因斯坦是相對論的惟一創(chuàng)始人，正因為有了愛因斯坦的問題、理論和方法，才能在這個基礎上得出場方程
。希爾伯特顯然在數(shù)學上十分擅長，他是從變分原理得出的。愛因斯坦則是通過另外的方法得出的。在這個問題上，物理的概念仍然是必不可少的基礎。 統(tǒng)一場論是愛因斯坦下一個目標，在這方面，數(shù)學家又顯示出自己的優(yōu)勢。最早的嘗試是大數(shù)學家外爾提出的。他首先提出了規(guī)范不變性的問題。但是，愛因斯坦從物理概念上批判外爾的理論。實際上從非歐幾何出現(xiàn)之后，數(shù)學家已經(jīng)飛躍到自由的王國，不再受現(xiàn)實的物理世界的束縛，而只關心數(shù)學的邏輯完整性。統(tǒng)一場論至今仍懸而未決，而在當時，還根本不可能了解另外兩種相互作用：強相互作用和弱相互作用。愛因斯坦去世之后，這兩種相互作用同電磁相互作用形成了“大統(tǒng)一理論”
，其中外爾開創(chuàng)的規(guī)范理論的作用不可低估。而現(xiàn)在試圖把引力包括進來的理論，基本上可以說是一種數(shù)學的理論。20世紀末
，物理學與數(shù)學這一對離婚長達一個多世紀的歡喜冤家仿佛又在談論復婚的問題。但是，這些新興的數(shù)學似乎并不是愛因斯坦所樂于見到的。
廣義相對論發(fā)展的另一個方向是宇宙學。無疑，愛因斯坦是現(xiàn)代宇宙學的奠基人，他的出發(fā)點仍是去解場方程。但是，場方程只給出局部的圖像，而難以拼出整體圖像。在宇宙形狀或宇宙結構這個大問題上，人們的認識仿佛又回到哥倫布時代。哥倫布時代的主要問題頭一個是拓撲問題，也就是地球表面是否是一個球面，是開的還是閉的。翻開過去的歷史，就知道這個問題上主要有三種看法：地圓說、地平說，還有一種實際上無所謂。哥倫布第一步走對了，他相信地圓說。在這一步確定之后就可以走第二步了，哥倫布的度量少了1/3，這種有意無意的錯誤使他獲得資助。 在宇宙學上，我們又碰到同樣的問題：先是拓撲的，后是度量的。這種區(qū)別首先是黎曼明確考慮到的，他區(qū)別幾何圖形的度量性質和非度量性質，而且還要明確局部性質與整體性質的不同，單純由局部性質不太能判斷整體性質，研究整體的拓撲性質需要另起爐灶，其結果是拓撲學。在對高斯、黎曼的內蘊幾何學不熟悉的情形下，愛因斯坦采取一個更原始的方法，也就是把四維時空嵌入到五維中去，而這就造成新的麻煩。
也許這是愛因斯坦晚期工作不太成功的另一種原因。
閔可夫斯基（右）說：“愛因斯坦在學生時期是條懶狗。他一點也不為數(shù)學操心�！睈垡蛩固沟莫M義相對論的確使閔可夫斯基大吃一驚，但是，真正認識到狹義相對論價值并且從哲學和數(shù)學上推進一大步的也正是閔可夫斯基。
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