在數(shù)學史上，相傳這個公式是意大利數(shù)學家塔塔里亞首先得，后來被米蘭地區(qū)的數(shù)學家卡爾達諾（1501～1576）騙到了這個三次方程的解的公式，并發(fā)表在自己的著作里。所以現(xiàn)在人們還是叫這個公式為卡爾達諾公式(或稱卡當公式)，其實，它應該叫塔塔里亞公式。
三次方程被解出來后，一般的四次方程很快就被意大利的費拉里(1522～1560)解出。這就很自然的促使數(shù)學家們繼續(xù)努力尋求五次及五次以上的高次方程的解法。遺憾的是這個問題雖然耗費了許多數(shù)學家的時間和精力，但一直持續(xù)了長達三個多世紀，都沒有解決。法國數(shù)學家拉格朗日更是稱這一問題是在“向人類的智慧挑戰(zhàn)”。
1770年，拉格朗日精心分析了二次、三次、四次方程根式解的結構之后，提出了方程的預解式概念，還進一步看出預解式和方程的各個根在排列置換下的形式不變性有關，這時他認識到求解一般五次方程的代數(shù)方法可能不存在。此后，挪威數(shù)學家阿貝爾利用置換群的理論，給出了高于四次的一般代數(shù)方程不存在代數(shù)解的證明。
伽羅瓦通過改進數(shù)學大師拉格朗日的思想，即設法繞過拉氏預解式，但又從拉格朗日那里繼承了問題轉化的思想，即把預解式的構成同置換群聯(lián)系起來的思想，并在阿貝爾研究的基礎上，進一步發(fā)展了他的思想，把全部問題轉化或歸結為置換群及其子群結構的分析。
這個理論的大意是：每個方程對應于一個域，即含有方程全部根的域，稱為這方程的伽羅華域，這個域對應一個群，即這個方程根的置換群，稱為這方程的伽羅華群。伽羅華域的子域和伽羅華群的子群有一一對應關系；當且僅當一個方程的伽羅華群是可解群時，這方程是根式可解的。
1829年，伽羅華在他中學最后一年快要結束時，把關于群論初步研究結果的論文提交給法國科學院，科學院委托當時法國最杰出的數(shù)學家柯西作為這些論文的鑒定人。在1830年1月18日柯西曾計劃對伽羅華的研究成果在科學院舉行一次全面的意見聽取會。他在一封信中寫道：“今天我應當向科學院提交一份關于年輕的伽羅華的工作報告……但因病在家，我很遺憾未能出席今天的會議，希望你安排我參加下次會議，討論已指明的議題”。然而，第二周當柯西向科學院宣讀他自己的一篇論文時，并未介紹伽羅華的著作，這是一個非常微妙的“事故”。
1830年2月，伽羅華將他的研究成果比較詳細地寫成論文交上去了，以參加科學院的數(shù)學大獎評選，希望能夠獲獎。論文寄給當時科學院終身秘書傅立葉，但傅立葉在當年5月去世了，在他的遺物中未能發(fā)現(xiàn)伽羅華的手稿。就這樣，伽羅華遞交的兩次數(shù)學論文都被遺失了。
1831年1月，伽羅華在尋求確定方程的可解性這個問題上，又得到一個結論，他寫成論文提交給法國科學院。這篇論文是伽羅華關于群論的重要著作，當時負責審查的數(shù)學家泊阿松為理解這篇論文絞盡腦汁。傳說泊阿松將這篇論文看了四個月，最后結論居然是“完全不能理解”。盡管借助于拉格朗日已證明的一個結果可以表明伽羅華所要證明的論斷是正確的，但最后他還是建議科學院否定它。
對事業(yè)必勝的信念激勵著年輕的伽羅華。雖然他的論文一再被丟失，得不到應有的支持，但他并沒有灰心，他堅持他的科研成果，一次又一次地想辦法傳播出去。
伽羅華死后，按照他的遺愿，舍瓦利葉把他的信發(fā)表在《百科評論》中。他的論文手稿過了十四年后，也就是1846年，才由法國數(shù)學家劉維爾領悟到這些演算中迸發(fā)出的天才思想，他花了幾個月的時間試圖解釋它的意義。劉維爾最后將這些論文編輯發(fā)表在他的極有影響的《純粹與應用數(shù)學雜志》上，并向數(shù)學界推薦。1870年法國數(shù)學家約當根據(jù)伽羅華的思想，寫了《論置換與代數(shù)方程》一書，在這本書里伽羅華的思想得到了進一步的闡述。
伽羅華最主要的成就是提出了群的概念，并用群論徹底解決了根式求解代數(shù)方程的問題，而且由此發(fā)展了一整套關于群和域的理論，為了紀念他，人們稱之為伽羅華理論。正是這套理論創(chuàng)立了抽象代數(shù)學，把代數(shù)學的研究推向了一個新的里程。正是這套理論為數(shù)學研究工作提供了新的數(shù)學工具—群論。它對數(shù)學分析、幾何學的發(fā)展有很大影響，并標志著數(shù)學發(fā)展現(xiàn)代階段的開始。
伽羅瓦非常徹底地把全部代數(shù)方程可解性問題，轉化或歸結為置換群及其子群結構分析的問題。這是伽羅瓦工作中的第一個“突破”，他猶如劃破黑夜長空的一顆瞬間即逝的慧星，開創(chuàng)了置換群論的研究，確立了代數(shù)方程的可解性理論，即后來稱為的“伽羅瓦理論”，從而徹底解決了一般方程的根式解難題。 作為這個理論的推論，可以得出五次以上一般代數(shù)方程根式不可解，以及用圓規(guī)、直尺(無刻度的尺)三等分任意角和作倍立方體不可能等結論。
對伽羅華來說，他所提出并為之堅持的理論是一場對權威、對時代的挑戰(zhàn)，他的“群”完全超越了當時數(shù)學界能理解的觀念。也許正是由于年輕，他才敢于并能夠以嶄新的方式去思考，去描述他的數(shù)學世界。也正因如此，他才受到了冷遇。 這個故事告訴我們，發(fā)現(xiàn)真理是多么的不容易，而要堅持真理需要多么大的勇氣。然而，歷史的曲折并不能埋沒真理的光輝。今天由伽羅華創(chuàng)立的群論，不僅對近代數(shù)學的各個方向，而且對物理學、化學的許多分支都產生了重大的影響。
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