霍姆伯厄后來(lái)回憶道：“阿貝爾沉迷進(jìn)數(shù)學(xué)，他以驚人的熱忱和速度向這門(mén)科學(xué)進(jìn)軍。在短期內(nèi)阿貝爾學(xué)了大部分的初級(jí)數(shù)學(xué)，在他的要求下，我私人教授他高等數(shù)學(xué)。過(guò)了不久他自己讀法國(guó)數(shù)學(xué)家泊松的作品，念德國(guó)數(shù)學(xué)家高斯的書(shū)，特別是拉格朗日的書(shū)。他已經(jīng)開(kāi)始研究幾門(mén)數(shù)學(xué)分支”。就這樣，阿貝爾很快掌握了經(jīng)典著作中最難懂的部分，包括高斯的《算術(shù)研究》。從那以后，真正的數(shù)學(xué)就不僅是他的嚴(yán)肅工作，而且成為他著迷的愛(ài)好。若干年后，有人問(wèn)起他是怎樣設(shè)法迅速地趕到前面去的，他回答：“靠學(xué)習(xí)大師們，而不是學(xué)習(xí)他們的學(xué)生”。 阿貝爾18歲的時(shí)候，父親過(guò)早地去世了，照顧母親、精神不正常的哥哥和五個(gè)弟妹的家庭重?fù)?dān)落到了阿貝爾一人身上。在艱難困苦中，他堅(jiān)持不斷地工作。中學(xué)最后一年，阿貝爾開(kāi)始了他第一個(gè)抱負(fù)非凡的冒險(xiǎn)：解決一般五次方程的求解問(wèn)題。這是一個(gè)已經(jīng)困擾了數(shù)學(xué)界200多年的難題。開(kāi)始時(shí)他以為自己找到了求解公式，但很快他發(fā)現(xiàn)自己的推理中存在漏洞，這促使他走到了另一條道路。1824年．阿貝爾證明了一般五次方程及高于五次的方程不存在根式解。1825年，他將自己的論文寄給偉大的高斯，但高傲的高斯以為又是一位嘩眾取寵的年輕人的鬧劇，于是在看都沒(méi)看一眼的情況下就把阿貝爾的偉大成果拋到了一邊。在這一不幸的事件中，受到損失的不單是阿貝爾而且還有整個(gè)數(shù)學(xué)。 1825年，在朋友們的幫助下，阿貝爾得到政府的資助使他能夠到國(guó)外去拜訪歐洲其他國(guó)家的著名數(shù)學(xué)家。然而，在這些已成名的數(shù)學(xué)家那里，阿貝爾沒(méi)有得到多少有益的幫助。 唯一幸運(yùn)的是在柏林他遇到了一位業(yè)余數(shù)學(xué)愛(ài)好者：克列爾。這是他一生中第二個(gè)對(duì)他的事業(yè)有極大幫助的人。克雷爾在1826年創(chuàng)辦了世界上第一個(gè)專(zhuān)門(mén)從事數(shù)學(xué)研究的定期刊物《純數(shù)學(xué)與應(yīng)用數(shù)學(xué)雜志》。阿貝爾在該雜志前三卷上共發(fā)表了22篇論文。論文的內(nèi)容涉及廣泛，包含了方程論、無(wú)窮級(jí)數(shù)、橢圓函數(shù)論等多方面的內(nèi)容。這表明，阿貝爾在做出自己第一項(xiàng)偉大發(fā)現(xiàn)后不久，就將創(chuàng)造力轉(zhuǎn)向了更廣泛的問(wèn)題。
1826年，他把自己一生最重要的杰作寄給法國(guó)科學(xué)院。這一杰作將會(huì)開(kāi)辟研究橢圓函數(shù)的廣闊領(lǐng)域，但負(fù)責(zé)審閱這一論文的柯西等人卻完全忽略了這一偉大的發(fā)現(xiàn)。當(dāng)它正式發(fā)表之時(shí)，已是1841年了。
1827年，由于未能找到合適的職位，阿貝爾返回祖國(guó)挪威。此后的生活變得更為悲慘。起初他沒(méi)有找到任何固定的工作，只能以私人授課維持生計(jì)，“窮得就象教堂里的老鼠”。1828年他總算在一所大學(xué)里擔(dān)任代課教師，但在這之前經(jīng)常的貧困和傷心，把他的身體搞垮了。他得了肺結(jié)核病。1829年4月6日，他病死了，年僅26歲零八個(gè)月。一個(gè)極富數(shù)學(xué)才華的青年就這樣不情愿地拋下自己熱愛(ài)的科學(xué)，離開(kāi)了這個(gè)世界。
在阿貝爾極其短暫的數(shù)學(xué)生涯中，他留下的是多方面的非凡貢獻(xiàn)：他首次證明一般五次和高于五次的方程不存在根式解；他是橢圓函數(shù)論的奠基人之一，這一被后來(lái)人稱為也許是19世紀(jì)最偉大的發(fā)現(xiàn)，“給數(shù)學(xué)家們留下了夠他們忙上一百五十年的東西”（埃爾米特語(yǔ)）；他為無(wú)窮級(jí)數(shù)理論奠定嚴(yán)密的基礎(chǔ)；他求解了第一個(gè)積分方程……
阿貝爾去世后兩天，熱心的克列爾寄來(lái)一封信說(shuō)，他將被任命為柏林大學(xué)的數(shù)學(xué)教授。姍姍來(lái)遲的榮譽(yù)在阿貝爾死后終于降臨了。作為對(duì)他多項(xiàng)成就的肯定，數(shù)學(xué)上以阿貝爾命名的術(shù)語(yǔ)、概念和定理就有幾十個(gè)。為了紀(jì)念自己國(guó)家這位偉大的天才數(shù)學(xué)家，挪威在1902年時(shí)就有意設(shè)立一項(xiàng)阿貝爾獎(jiǎng)，但因故未能實(shí)現(xiàn)。而今，在新世紀(jì)之初，阿貝爾誕辰200周年之際，這一設(shè)想終于變成了現(xiàn)實(shí)。 挪威詩(shī)人約恩松在紀(jì)念挪威數(shù)學(xué)家阿貝爾的詩(shī)中寫(xiě)道：
數(shù)的科學(xué)，像時(shí)間一樣不知不覺(jué)地流逝。
融于永不消失的晨曦，是千變?nèi)f化的數(shù)字，
她們，像雪一般純，比空氣更輕，
卻強(qiáng)于整個(gè)世界，其值無(wú)價(jià)。
她們帶來(lái)的是一片光彩。
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2002年為了紀(jì)念挪威天才數(shù)學(xué)家阿貝爾誕辰200周年，挪威財(cái)政部撥款２億挪威克郎（約合2200萬(wàn)美元）設(shè)立了阿貝爾紀(jì)念基金，基金的收益將用于阿貝爾獎(jiǎng)獎(jiǎng)金、阿貝爾獎(jiǎng)?lì)C獎(jiǎng)典禮和青少年數(shù)學(xué)教育活動(dòng)。挪威政府設(shè)立這項(xiàng)獎(jiǎng)金的宗旨在于提高數(shù)學(xué)在社會(huì)中的地位，同時(shí)激勵(lì)青少年學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)的興趣。
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