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格羅騰迪克認為應該有這樣一些對象，他稱之為“主對象”(motive)，它們是數(shù)學中兩大分支——數(shù)論與幾何統(tǒng)一的根基。格羅騰迪克的思想在數(shù)學上影響廣泛，并激發(fā)了弗沃特斯基的工作。 上同調概念最初來源于拓撲學，而拓撲學可以粗略地說成是“形狀的科學”，其中研究的形狀的例子如球面、環(huán)面以及它們的高維類似物。拓撲學研究這些對象在連續(xù)變形（不允許撕裂）下保持不變的基本性質。通俗地說，上同調論提供了一種方法將拓撲對象分割成一些比較容易研究的片，上同調群則包含了如何將這些基本片裝配成原來對象的信息。有多種方法使這一過程精確化，其中之一稱為奇異上同調。廣義的上同調論提取關于拓撲對象的性質的信息，并將這些信息翻譯成群論語言。一種最重要的廣義上同調倫——拓撲k理論，主要是由另一位菲爾茲獎獲得者米歇爾·阿蒂亞發(fā)展起來的。一個引人注目的結果揭示了奇異上同調與拓撲k理論之間的緊密聯(lián)系。 代數(shù)幾何中研究的主要對象是代數(shù)簇，它們是多項式方程的公共解集。代數(shù)簇可以用諸如曲線或曲面之類的幾何對象來表示，但它們比那些可變形的拓撲對象更具“剛性”。因而在拓撲學背景下發(fā)展起來的上同調論在這里并不適用。大約四十年來數(shù)學家們一直在努力發(fā)展能夠適用于代數(shù)簇的上同調論；這方面最好的理解是k理論的代數(shù)翻版。關鍵的一步正是由弗沃特斯基邁出的，他在安德烈·蘇斯林提出的一個很少被人理解的概念基礎上，創(chuàng)立了一種“主上同調”理論。與拓撲學情況相類似，在主上同調與代數(shù)k理論之間也存在著緊密的聯(lián)系。此外，弗沃特斯基還提出了一個描述各種適用于代數(shù)簇的新的上同調理論的框架。他的工作構成了實現(xiàn)格羅騰迪克數(shù)學統(tǒng)一觀的重大進展。
弗沃特斯基的工作的一個主要結果，也是他最值得稱道的成就之一，就是米爾諾猜想的解決，三十多年來這一猜想一直是k理論中最著名的問題。這一結果引出了包括伽羅瓦上同調、二次型和復代數(shù)簇的上同調論等一系列領域的重要成就。由于弗沃特斯基的工作使得在拓撲學中發(fā)展起來的強有力的工具能夠應用于代數(shù)簇研究，這些工作對數(shù)學的未來可能會產(chǎn)生巨大的影響。
符拉基米爾·弗沃特斯基1966年6月4日生于俄羅斯，1989年獲國立莫斯科大學學士，1992年獲哈佛大學數(shù)學博士學位, 他先后在高等研究院,哈佛大學和馬克斯—普朗克數(shù)學研究所任訪問職位，1996年到西北大學任教，2002年被提名出任位于新澤西州的普林斯頓高等研究院數(shù)學學院終身教授。
艾琳·杰克遜
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