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自然界的眾多形狀都是如此的不規(guī)則和支離破碎。對這些形狀的認識，歐幾里得并未能給后人留下更多的啟示，傳統(tǒng)的歐氏幾何在它們面前顯得那樣的蒼白無力、對大自然的這種挑戰(zhàn)，二千年來，激勵著一代又一代的數學家上下求索，探尋從歐氏幾何體系中解放出來的道路。終于在1975年，芒德勃羅發(fā)表了被視為分形幾何創(chuàng)立標志的專著《分形：形、機遇和維數》。從此，一門嶄新的數學分支——分形幾何學躋身于現代數學之林。
經過近二、三十年的開拓和發(fā)展，分形研究現已深入到各個科學技術領域，在哲學、數學、物理學、材料科學、計算機科學、地學、醫(yī)學等眾多領域，甚至在電影、美術和書法等藝術領域都得到了廣泛的應用，對現代科學產生了至為深遠的影響，所以美國著名物理學家惠勒說：“可以相信，明天誰不熟悉分形，誰就不能被認為是科學上的文化人！”
一般是分數（也可以是整數）。顯見，分形幾何給學生帶來的是一種全新的幾何觀念．讓他們學習分形幾何初步知識，幫助他們實現從歐氏幾何領域向分形幾何領域的認知的初步跨越。由于分形是一類無特征尺度的幾何形體，所以無法用通常的度量：長度或重量或體積等參數去刻劃其特征，而只能用分數維作為其復雜程度的定量表征，這是和學生已形成的傳統(tǒng)維數觀念相悖的：在歐氏幾何里，點是0維的，線段是1維的，正方形是2維的，正方體是3維的；而分形的維數卻一般是分數：三分康托爾集、三元科赫曲線、門杰海綿的維數分別是0.6309、1.2618、2.7268．這種維數是新穎的，將對學生固有的維數觀念產生強勁的沖擊。分形幾何學可以用于表述大自然創(chuàng)造的復雜的真實物體，例如下面的例子。
（1）一些經典分形圖：康托爾三分集、科赫雪花曲線、謝爾賓斯基墊片、“有皮沒有肉”的門杰海綿、惡魔的階梯等；
（2）科赫雪花曲線的字符串替換算法作圖；
（3）特征長度，分形的自相似性的認識；
（4）海岸線的測量問題，海岸線與科赫曲線的本質聯系；
（5）皮亞諾曲線與分數維的初步知識；
（6）“病態(tài)”怪物畫廊。
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