|
布爾代數(shù)由于缺乏物理背景，所以研究緩慢，到了20世紀(jì)30～40年代才有了新的進(jìn)展，大約在 1935年，M.H.斯通首先指出布爾代數(shù)與環(huán)之間有明確的聯(lián)系，他還得到了現(xiàn)在所謂的斯通表示定理：任意一個(gè)布爾代數(shù)一定同構(gòu)于某個(gè)集上的一個(gè)集域；任意一個(gè)布爾代數(shù)也一定同構(gòu)于某個(gè)拓?fù)淇臻g的閉開(kāi)代數(shù)等，這使布爾代數(shù)在理論上有了一定的發(fā)展。布爾代數(shù)在代數(shù)學(xué)（代數(shù)結(jié)構(gòu)）、邏輯演算、集合論、拓?fù)淇臻g理論、測(cè)度論、概率論、泛函分析等數(shù)學(xué)分支中均有應(yīng)用；1967年后，在數(shù)理邏輯的分支之一的公理化集合論以及模型論的理論研究中，也起著一定的作用。近幾十年來(lái)，布爾代數(shù)在自動(dòng)化技術(shù)、電子計(jì)算機(jī)的邏輯設(shè)計(jì)等工程技術(shù)領(lǐng)域中有重要的應(yīng)用。
1835年，20歲的喬治·布爾開(kāi)辦了一所私人授課學(xué)校。為了給學(xué)生們開(kāi)設(shè)必要的數(shù)學(xué)課程，他興趣濃厚地讀起了當(dāng)時(shí)一些介紹數(shù)學(xué)知識(shí)的教科書(shū)。不久，他就感到驚訝，這些東西就是數(shù)學(xué)嗎？實(shí)在令人難以置信。于是，這位只受過(guò)初步數(shù)學(xué)訓(xùn)練的青年自學(xué)了艱深的《天體力學(xué)》和很抽象的《分析力學(xué)》。由于他對(duì)代數(shù)關(guān)系的對(duì)稱(chēng)和美有很強(qiáng)的感覺(jué)，在孤獨(dú)的研究中，他首先發(fā)現(xiàn)了不變量，并把這一成果寫(xiě)成論文發(fā)表。這篇高質(zhì)量的論文發(fā)表后，布爾仍然留在小學(xué)教書(shū),但是他開(kāi)始和許多第一流的英國(guó)數(shù)學(xué)家交往或通信，其中有數(shù)學(xué)家、邏輯學(xué)家德·摩根。
摩根在19世紀(jì)前半葉卷入了一場(chǎng)著名的爭(zhēng)論，布爾知道摩根是對(duì)的，于是在1848年出版了一本薄薄的小冊(cè)子來(lái)為朋友辯護(hù)。這本書(shū)是他6年后更偉大的東西的預(yù)告，它一問(wèn)世，立即激起了摩根的贊揚(yáng)，肯定他開(kāi)辟了新的、棘手的研究科目。
布爾此時(shí)已經(jīng)在研究邏輯代數(shù)，即布爾代數(shù)。他把邏輯簡(jiǎn)化成極為容易和簡(jiǎn)單的一種代數(shù)。在這種代數(shù)中，適當(dāng)?shù)牟牧仙系摹巴评?
”，成了公式的初等運(yùn)算的事情，這些公式比過(guò)去在中學(xué)代數(shù)第二年級(jí)課程中所運(yùn)用的大多數(shù)公式要簡(jiǎn)單得多。這樣，就使邏輯本身受數(shù)學(xué)的支配。為了使自己的研究工作趨于完善，布爾在此后6年的漫長(zhǎng)時(shí)間里，又付出了不同尋常的努力。
1854年，他發(fā)表了《思維規(guī)律》這部杰作，當(dāng)時(shí)他已39歲，布爾代數(shù)問(wèn)世了，數(shù)學(xué)史上樹(shù)起了一座新的里程碑。幾乎像所有的新生事物一樣，布爾代數(shù)發(fā)明后沒(méi)有受到人們的重視。歐洲大陸著名的數(shù)學(xué)家蔑視地稱(chēng)它為沒(méi)有數(shù)學(xué)意義的、哲學(xué)上稀奇古怪的東西，他們懷疑英倫島國(guó)的數(shù)學(xué)家能在數(shù)學(xué)上做出獨(dú)特貢獻(xiàn)。布爾在他的杰作出版后不久就去世了。
20世紀(jì)初，羅素在《數(shù)學(xué)原理》中認(rèn)為，“純數(shù)學(xué)是布爾在一部他稱(chēng)之為《思維規(guī)律》的著作中發(fā)現(xiàn)的�！贝苏f(shuō)一出，立刻引起世人對(duì)布爾代數(shù)的注意。今天，布爾發(fā)明的邏輯代數(shù)已經(jīng)發(fā)展成為純數(shù)學(xué)的一個(gè)主要分支。
在離散數(shù)學(xué)中，布爾代數(shù)(有時(shí)叫布爾格)是有補(bǔ)分配格（可參考格的定義)可以按各種方式去認(rèn)為元素是什么；最常見(jiàn)的是把它們當(dāng)作一般化的真值。作為一個(gè)簡(jiǎn)單的例子，假設(shè)有三個(gè)條件是獨(dú)立的為真或?yàn)榧佟２紶柎鷶?shù)的元素可以接著精確指定那些為真；那么布爾代數(shù)自身將是所有八種可能性的一個(gè)搜集，和與之在一起的組合它們的方式。
有時(shí)也被稱(chēng)為布爾代數(shù)的一個(gè)相關(guān)主題是布爾邏輯，它可以被定義為是所有布爾代數(shù)所公有的東西。它由在布爾代數(shù)的元素間永遠(yuǎn)成立的關(guān)系組成，而不管你具體的那個(gè)布爾代數(shù)。因?yàn)檫壿嬮T(mén)和某些電子電路的代數(shù)在形式上也是這樣的，所以同在數(shù)理邏輯中一樣，布爾邏輯也在工程和計(jì)算機(jī)科學(xué)中研究。
在布爾代數(shù)上的運(yùn)算被稱(chēng)為AND(與)、OR(或)和NOT(非)。代數(shù)結(jié)構(gòu)要是布爾代數(shù)，這些運(yùn)算的行為就必須和兩元素的布爾代數(shù)一樣(這兩個(gè)元素是TRUE(真)和FALSE(假)。
|
